Un limón y medio limón ...

Había un juego infantil, o tal vez no tan infantil que empezaba diciendo "Un limón y medio limón". No sé muy bien en qué consistía pero seguro que todos sabemos contestar a preguntas como estas:

• ¿Cuántos limones son 'un limón y medio limón'?
• ¿Cuántos limones son '9 limones menos un limón'?

Así que, de eso va nuetra lección de hoy: de cómo, los castillos más complejos de operaciones, si los viésemos como algo natural, tendrían una resolución natural. Ya habrá tiempo para aprender reglas sin sentido más tarde y, entonces, cuando las aprendamos, se convertirán en reglas naturales.

• Todos los habitantes de mi pueblo saben , y por supuesto mi abuelo sabía, que un limón y medio limón da para mucho:
  
  • Si estamos 3 personas nos lo prodríamos repartir sin problemas: "medio limón a cada uno", porque disponemos de 3 mitades de limón:  $$\frac{1+\frac{1}{2}}{3}=\frac{3·\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{2}$$
  • Si estamos 6 personas nos lo podremos repartir sin problemas. ¡Esperad, no lo chupéis!, diríamos a los tres primeros, que cada uno de vosotros debe repartirlo con otra persona así que, disponemos de 6 cuartos de limón : $$\frac{1+\frac{1}{2}}{6}=\frac{3·\frac{1}{2}}{6}=\frac{3·(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})}{6}=\frac{6·\frac{1}{4}}{6}=\frac{1}{4}$$
• Casi todo el mundo sabe también que si tenemos nueve limones y nos quitan un limón nos quedaremos con 8 limones.
  Es posible incluso que esto no haga falta explicarlo.
  • La duda está entonces en saber por qué no es lo más evidente que: $$9x-x=8x$$ Sin necesidad de decir tonterías del tipo de restar términos semejantes
  • Pero más maravilloso es observar que:
    $$9·9-9=8·9$$
  • Y qué me dices entonces si tenemos:
    $$\frac{9^7-9^6}{8}=\frac{9·9^6-9^6}{8}=\frac{8·9^6}{8}=9^6$$