Matemáticas de 1º y 2º de ESO

Resolver Ecuaciones de segundo grado sin fórmula

Cuando prometí a mis alumnos de 2º de la ESO que les explicaría por qué era así la famosa fórmula de resolución de ecuaciones de segundo grado, sabía que estaba prometiendo algo difícil de cumplir.
No, no es nada que cualquier alumno de 3º de la ESO no pueda entender pero, tal vez, sí sea pronto en 2º. De hecho, hoy lo he explicado en 4º de la ESO.
No sé cuando debería explicarse pero, les aseguro, que es un verdadero anacronismo que enseñemos a solucionar ecuaciones de 2º grado y que nuestros alumnos terminen con el mismo misterio con el que todos nosotros acabamos. El milagro se escribe así:

\begin{array}{c} S i a x^{2} + b x + c = 0 e n t o n c e s : \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{array}

Pocos no recuerdan haber estudiado esto. Unos pocos menos son los que se acuerdan de la fórmula en si. Casi nadie la ha usado nunca en su vida fuera de la escuela.

Por ello ahora es muy fácil escuchar estupideces de pedagogos que no entendieron nunca nada de matemáticas, afirmando que matemáticas las explica cualquiera.
Claro que tal vez los propios profesores de matemáticas somos los que les damos la razón si lo que hay que hacer para enseñar matemáticas es escribir la fórmula anterior en la pizarra y, ¡venga!, a resolver ecuaciones como autómatas programables.
Tal vez tenga que pedirles perdón a los pedagogos si ellos aprendieron las matemáticas así. Pero pensándolo mejor, si son pedagogos quizá debamos suponer que eso significa algo y que, han aprendido realmente lo que se debe hacer al dar clase y enseñar aunque a ellos nunca les enseñaran adecuadamente las matemáticas.

Mi reto es aquí, no explicar la fórmula en sí, sino resolver ecuaciones de segundo grado sin fórmula ninguna. Sólo razonando con operaciones elementales de las que, hasta los pedagogos deberían haber aprendido en la escuela y usado después en su vida diaria.

Aquí va un ejemplo sencillo:

x^{2} - 6 x + 5 = 0

Vamos a intentar "completar un cuadrado", técnica muy socorrida en matemáticas y que tiene mucho que ver con esas "igualdades notables", tal vez aprendidas, olvidadas y no entendidas:

${(x - ⊙)}^{2} = x^{2} - 2 x ⊙ + ⊙^{2}$
comparemos patrones:
$x^{2} - 6 x + 5 = 0$
No es difícil concluir que para que: $2 ⊙ = 6$ , tenemos que hacer: $⊙ = \frac{6}{2} = 3$
Con ello:
${(x - 3)}^{2} = x^{2} - 6 x + 9$
Lo siento, no he acabado. Otra mentira de los pedagogos es que la escuela tiene que ser divertida y, podría pintarte las x de rojo pero si no me sigues ...
$x^{2} - 6 x + 5 = {(x - 3)}^{2} - 9 + 5 = {(x - 3)}^{2} - 4$
Ahora si que lo tengo fácil porque lo que hemos concluido es que, resolver la ecuación de partida: $x^{2} - 6 x - 2 = 0$ , es lo mismo que resolver esta otra: ${(x - 3)}^{2} - 4 = 0$
Y eso para mí es coser y cantar:
$\begin{array}{c} {(x - 3)}^{2} - 4 = 0 \\ {(x - 3)}^{2} = 4 \\ \sqrt{{(x - 3)}^{2}} = \sqrt{4} \\ (x - 3) = \pm 2 \\ x = {\begin{matrix} 2 + 3 = 5 \\ ó \\ - 2 + 3 = 1 \end{matrix} \end{array}$
Prueba con la fórmula y me apuesto lo que quieras a que te da lo mismo

En otra ocasión os diré algún momento en la vida en el que vendría muy bien saber resolver ecuaciones de segundo grado. Os aseguro que los hay, y muchos. Aunque quien no sepa, nunca los encontrará.
Sirva como ejemplo lo útil que es hablar y entender chino. Aunque quien no sepa, nunca entenderá ni será capaz de hablar con alguien que sólo hable chino ... Pero siempre queda el consuelo de decir que eso no sirve de nada y que, mejor que aprenda el chino a hablar en español.

La escuela es aburrida

Ayer me preguntó una alumna de 2º de la ESO si había leído un artículo que apareció hace poco en un periódico y que hablaba del mejor profesor de matemáticas del mundo.Le dije que "no sabía que hablasen de mi en el periódico. ;-) ". // ;-) es un emoticono que simula una cara guiñando un ojo para indicar broma o complicidad, nacido en la era del correo electrónico textual //
Bromas aparte, quedamos que me traería el artículo y, hoy me lo ha enseñado. Se encuentra, para quien le interese, en el XL Semanal del 15 de Abril de 2012. Maravillas de la WWW, lo tienes en el siguiente enlace : http://xlsemanal.finanzas.com/web/articulo.php?id=78278&id_edicion=7287

No se trata de engreimiento si digo que, con toda probabilidad, a otro profesor de matemáticas no le hubiese comentado lo del artículo. No, no es que yo sea el mejor profesor o que sea de matemáticas, se trata de que parte del discurso del que allí se habla lo ha identificado con cosas que yo hago o digo.
Cito literalmente algunas frases que podrían ser mías, que forman parte de mi religión educativa, y ella lo sabe (la mayor parte de mis alumnos lo saben):

"El mundo entero se está transformando, pero el sistema educativo no ha cambiado desde el siglo XIX".
"El modelo del profesor que suelta la lección a sus alumnos y luego los examina bajo un patrón estándar ha caducado".
"Lo que se enseña en las aulas sirve de muy poco en la vida real".

Da igual si mis alumnos son de los que me odian o de los que me admiran. Si les preguntas con qué profesor de los que conozcan identifican esas frases te dirán que conmigo. Mis compañeros también.

Los padres y madres de mis alumnos lo saben. Cada vez más me vienen y, lo primero que me dicen cuando se entrevistan conmigo es que ya saben que son "padres o madres estándar" pero que ...

El sistema educativo no cambiará hasta que, citándome a mi mismo, no se tan normal para todo ser viviente que haya pasado por una escuela entender que es igual decir:

Un limón y medio limón es un limón y medio, es decir, 3 mitades de limón.

Como decir que:

1 + 1/2 = 3/2

Y eso, los primeros que no lo saben, son la mayor parte de los profesores de "letras" de las escuelas e institutos, incluidos los orientadores.

La espoleta ha sido: ..."Tu fama te precede"

Todo en el mundo está relacionado. Estamos en un mundo global. Algunos dicen que para nuestra desgracia pero yo no soy de esa opinión.
WWW (World Wide WEB) que literalmente podría traducirse por "Mundo Grande Telaraña" y que con mucho más sentido se traduce por Gran Telaraña Mundial es un símbolo de nuestros tiempos y, les aseguro, que no para mal. Quien no quiera ver las posibilidades fantásticas que ofrece ésta globalización, en todos los campos y, en particular, en el de la educación y la cultura, ..., peor para él.

Así que, relacionando, espoleta es, según http://www.rae.es , un "Aparato que se coloca en la boquilla o en el culote de las bombas, granadas o torpedos, y sirve para dar fuego a su carga." Y la espoleta que ha hecho que yo vuelva a escribir en este blog que tenía, no olvidado pero si detenido temporalmente, ha sido una frase de una madre. Hablando de su hija, hoy alumna mía de 2º de la ESO, me ha dicho que, aunque el año pasado no le daba clase, cuando este año le tocó ser mi alumna, ya sabían de mí porque ... "mi fama me precede".

Hay contextos en que esto puede ser un halago o un disparo a la línea de flotación de tu autoestima.
De hecho, ayer, una compañera de departamento me anunció algo relacionado. Mi fama, es tan mala que no sólo se queda entre mis alumnos sino que va más allá. Parece ser que un grupo de madres y abuelas comentan y debaten por los parques y por el patio del colegio próximo al instituto si llevar a sus hijos/as o nietos/as a otro instituto a estudiar porque hay un profesor de matemáticas en el IES Cosme García que suspende muchísimo.
He de decir que, mis estadísticas de suspensos no difieren de las de otros profesores de mi departamento excepto en un curso en el que, por cierto, 5 ó 6 de los alumnos/as tienen hermanos/as en el colegio en cuestión.
También he de decir que el contexto en el que la madre de la que antes hablaba me ha hecho el comentario no me llevó a interpretar la frase en el mal sentido sino, en todo caso, más para bien.

Pero como digo, todo está relacionado.

Hace unas 2 semanas, la madre de otro de mis alumnos de 2º de ESO me decía dos cosas de lo más interesantes:
- A veces comentaban su marido y ella que su hijo había nacido de los padres equivocados porque no se cansaba de preguntar cosas, de preguntar el por qué de las cosas y ellos no habían tenido nunca la misma curiosidad. Además había muchísimas cosas que no podían ni sabían responderle. (¡Qué maravilla, le dije! por la actitud de su hijo)
- Ella pensaba que yo debía ser un muy buen profesor porque conseguía motivar a los alumnos. Con su hijo al menos lo conseguía y hacía que se preguntase cosas, intentase aprender más, ... (¡Hay quien opina todo lo contrario, le dije¡ - que se lo digan a algunas de las madres y abuelas del colegio-)

En mi curriculum tengo perlas de los dos tipos: blancas y brillantes de gente que te felicita por tu manera de enseñar junto a negras y opacas de gente que te odia y te acusa de arruinarle su ¿vida?. Probablemente tan infundadas unas como otras.
Seguro que lo más acertado en mi caso está en otra frase que un compañero dijo de mi hace muy poco: "No pasas indiferente, levantas grandes odios o grandes pasiones".

Estas mismas reflexiones me habían llevado hoy mismo, antes de la entrevista con la madre aludida, a leerles a mis alumnos de ese curso que tanto me odia, un texto sacado de las decenas de ellos que se han colgado por el centro para fomentar la lectura:

"He oído decir que, cuando alguna aventura extraña, sobrenatural y nigromante le ha ocurrido a un ser humano, ese ser, aunque desee ocultarla, suele sentirse desgarrado por una especie de conmoción espiritual, y se ve forzado a desnudar ante otros las profundidades de su alma.

La transformación - Mary Shelley-

Y por eso os cuento esta historia. Porque necesito desnudar ante otros las profundidades de mi alma.
Así que, sigue leyendo porque, nuestra próxima entrada del blog, aunque en este mundo vuelto al revés, tú la verás como la anterior porque aparecerá ante ti en orden de fecha y hora, también está relacionada.

La ecuación no sabe que hablamos de cajas de zapatos

Esta estrada no es que esté dedicada a Claudia Lacarra, alumna de 2º ESO C, sino que es de ella para el mundo ...

Hemos resuelto en clase un problema del libro que decía:

El volumen de una caja con forma de ortoedro es de 1500 centímetros cúbicos. El largo de la base es 5 centímetros mayor que el ancho. La profundidad de la caja mide 5 centímetros. Calcula las dimensiones de la caja.

Sabemos que la profundidad es: 5 cm.
Si llamamos W al ancho de la caja, el largo será´: W+5
Por consiguiente, tenemos que:

\begin{array}{l} 5 \cdot W \cdot (W + 5) = 1500 \\ W \cdot (W + 5) = 300 \\ W^{2} + 5 W = 300 \\ W^{2} + 5 W - 300 = 0 \\ W = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 300)}}{2 \cdot 1} = {\begin{matrix} W = - 20 \\ W = 15 \end{matrix} \end{array}

Como es natural, la solución W = -20 no sirve porque una caja no puede tener de ancho un número negativo, por tanto, la única solución a mi ejercicio es:

Profundidad es: 5 cm.
Ancho W = 15 cm.
Largo W + 5 = 15 + 5 = 20 cm.
Con ello, tal y como nos pedía el ejercicio:

Volumen = 5cm · 15 cm · 20 cm = 1500 cm3

Pero ahora llega lo interesante. Cuando estábamos explicando varias cosas sobre el resultado, y les he planteado la pregunta del millón:

¿Por qué la ecuación nos da un resultado que no es solución de nuestro problema?

Claudia no me ha dejado responder porque ha levantado la mano con los ojos como platos indicando sin atisbo de duda que lo entendía perfectamente, y lo ha explicado así:

"Porque la ecuación no sabe que hablamos de una caja. Si el problema hubiera sido de otra cosa, tal vez si hubiera servido el número negativo, pero siendo las medidas de una caja, no pueden ser negativas"

Encuadrad la repuesta en un marco. Yo no hubiese sabido explicarlo mejor pero desde hoy lo haré así en cada una de mis clases. Hoy he aprendido a explicar algo como no sabía: "la ecuación no sabe de qué estamos hablando, eso lo debemos saber nosotros. Ella sólo nos da los números, nosotros debemos interpretar si nos sirven o no.

Gracias Claudia. Y no se me olvida que te debo otra entrada, que ya tengo medio escrita, sobre una clase magistral que nos diste hace unos meses. Tal vez seas profesora o tal vez no, como va la enseñanza te aconsejo que no, pero si llegas a serlo, serás una magnífica profesora.

Matemáticas interesantes: Los Diez Magníficos

Reflexionaba el otro día conmigo mismo, que soy el que mejor me entiende a mi mismo, sobre lo siguiente:

Qué maravilloso sería que la gente se planteara el aprender como un juego.

¡NOOO!, no se trata de aprender jugando, sino de JUGAR A APRENDER.

Es fundamental la diferencia.

Jugar a aprender significa que uno considera el aprender como un juego. Que el objetivo es aprender. Que el objetivo debe ser para mi algo interesante. Que el objetivo debe ser algo que yo quiero.

A veces es difícil: Si jugásemos a dar 1000 toques con un balón de fútbol sin que se cayese al suelo ... me costaría un esfuerzo; tal vez no lo consiguiese; me cansaría de intentarlo; volvería a intentarlo; tal vez podría estar jugando casi todos los días de mi vida a ello y no conseguirlo; muchos otros lo harían de manera más rápida y mejor que yo; a otros les costaría más; algunos lo conseguirían y otros no; quizá no fuese el mejor; día a día lo haría mejor; ...

Hoy, para variar, mi alumno de 2º de la ESO Ramiro Ibarzo, me ha traído unos cuantos libros. Dos de ellos de su abuelo (al que, por cierto, le agradezco la cantidad de libros y el interés que despierta en su nieto) y, otros dos que, tal vez, le hayan traído los Reyes Magos.
Uno de ellos hace que un abuelo y su nieto jueguen a aprender, se diviertan aprendiendo, sean capaces de charlar, hablar, contar cosas, investigar, ... y a pesar de ello se esté divirtiendo.

"Cada vez que el abuelo habla de sus 4800 alumnos a lo largo de sus 40 años, el corazón se le hincha de emoción, se pone las gafas y pregunta a quemarropa: "4800 alumnos a lo largo de 40 años:¿cuántos alumnos son en un año?".
Sí, es más fuerte que él: le resulta imposible dejarse de preguntas. El tiempo se detuvo para el abuelo aquel horrible día en que pasó a "situación de jubilado", obligado a dejar la enseñanza "por haber alcanzado el límite de edad establecido". Pero el mundo de la enseñanza se le ha quedado dentro, allí, en el fondo de su corazón, y no es capaz de sentirse otra cosa que profesor"

Los Diez Magníficos. Un niño en el mundo de las matemáticas

Anna Ceralosi

Ed. Maeva

¡Feliz año de crisis! Las matemáticas lo arreglan

John Allen Paulos, en su libro "PIENSO, LUEGO RÍO" de la Ed. Cátedra, colección teorema, nos plantea un milagro numérico que nos puede ayudar a:

Salir de la crisis de una manera elegante.
Hacer milagros como el de los panes y los peces. Ya he contado en calse alguna forma de hacerlo usando las matemáticas.
Pensar, disfrutar y reír.
No pensar, disfrutar y reír, y seguir diciendo que pensar no sirve para nada. (Recordad la frase de Einstein : "Hay dos cosas infinitas, el universo y la estupidez humana, y de la primera no estoy seguro")

Como en estos días he estado en clase hablando de ecuaciones y, sobretodo, de saber lo que hacemos resolviendo una ecuación, aquí tenéis un ejemplo maravilloso para ver si realmente entendéis lo que hacéis en cada paso que dais con las igualdades para intentar resolver una ecuación:

36 pulgadas = 1 yarda

Luego: 9 pulgadas = 1/4 de yarda

Pero, como la raíz cuadrada de 9 es 3 y la raíz cuadrada de 1/4 es 1/2, basta tomar raíces cuadradas a los dos lados...

Y entonces: ¿ 3 pulgadas = 1/2 yarda ?

Haz lo mismo con tus deudas y se reducirán de manera obvia.

Aunque, como he comentado en clase alguna vez, en Física, las cosas son mucho más difíciles que en matemáticas porque todas las cantidades llevan apellido, y es fundamental no olvidarlo.

Hago también aquí una observación sobre la importancia de una escritura precisa advirtiendo que, en la soledad de una tarde verano, a la orilla de un tranquilo río, sentado a la sombra de un hermoso chopo, no es lo mismo afirmar:

Pienso, luego río que Pienso luego, río

Como tampoco es lo mismo afirmar:

Yo como, pienso y engordo que Yo como pienso y engordo

Aunque para muchos tal vez si (me remito nuevamente a la frase de Einstein).

Más exámenes

Nunca son los exámenes lo importante pero siempre acaban siéndolo.
Algún día aprenderemos que, los exámenes, nos permiten aprender.

Operar en matemáticas en los ojos de una alumna

El viernes pasado "solté una terrible disertación en mi departamento" al hilo de la operatoria de polinomios, de lo esencial en la enseñanza y de lo puramente mecánico y absurdo. De lo que debía ser el objetivo y de lo que realmente hacemos que sea. De que, desde mi punto de vista y parece que no compartido por todos, lo importante no es que se apliquen los algoritmos de manera mecánica sino de que estos sean un simple instrumento para ser capaz de hacer algo entendiendo por qué y para qué.

Hoy explicaba en 2º de ESO-C lo que yo creo que hay que explicar. Hoy les comentaba a mis alumnos que el algoritmo no es la esencia, es decir, que la forma no es la esencia, sino que lo que importa es el fondo y lo hacía con ejemplos como estos:

Lo importante es esto:

(x + 1) \cdot (x + 3) =

No cómo se haga:

\begin{array}{l} (x + 2) \cdot (x + 3) = () \cdot x + () \cdot 3 = \\ (x + 2) \cdot x + (x + 2) \cdot 3 = x \cdot x + 2 \cdot x + 3 \cdot x + 3 \cdot 2 = \\ x^{2} + 5 \cdot x + 6 \end{array}

\begin{array}{l} (x + 2) \cdot (x + 3) = x \cdot () + 2 \cdot () = \\ x \cdot (x + 3) + 2 \cdot (x + 3) = x \cdot x + 3 \cdot x + 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = \\ x^{2} + 5 \cdot x + 6 \end{array}

Cuando hacía cosas como estas me alegraba ver a algunos de los alumnos que abrían los ojos y entendía, no que aprendían. Que muchos de los alumnos jugaban conmigo con la broma de "Brraeee" por, a más b.
Pero, fundamentalmente, me alegraba infinito que algunas alumnas que, por muy diversos motivos, el año pasado no veían nada conmigo como profesor, hoy iban viendo lo que pretendía mostrarles. Había más, pero hoy quiero dedicarles esta entrada del blog precisamente a ellas y, personalizado en ellas con sus nombres, a todos los que quieren ver y lo consiguen. Esas tres alumnas son Carlota B., Sara F. y Hanae E. Cada una en su medida, han dado un paso importante de lo que "su propio yo" y "su propio entorno fuera del aula" les dejaba ver el año pasado a lo que les deja ver este año. Una un sato grande, otra un salto muy grande, otra un salto inmenso.

Lo importante es esto:

26 + 57 =

No cómo se haga:

\begin{array}{l} 26 + 57 = (20 + 6) + (50 + 7) = \\ (20 + 50) + (6 + 7) = 70 + 13 = \\ (70 + 10) + 3 = 80 + 3 = 83 \end{array}

Pero el "sumun" de la felicidad lo he sentido cuando una de ellas me ha comentado, después de mi explicación, algo parecido a esto:

"Cuando yo era pequeña me preguntaba por qué era eso de 'me llevo una' cuando hacíamos las sumas. Cuando preguntaba por qué me decían que 'era así' ."
Tal vez, quien te lo contaba, ni siquiera lo sabía - le he dicho-. Tú, por ejemplo, no sabías por qué hace cinco minutos y si un niño pequeño te hubiese preguntado lo mismo no hubieses sabido qué contestar.

¿Alguien se imagina la felicidad de un profesor cuando tiene alumnos con interés por entender y él es capaz de abrirles la puerta a esa comprensión? Si esto no fuese un blog para alumnos de1º y 2º de la ESO, resumiría la sensación sentida de "una culminación de placer" por una palabra más mundana que repetí hasta la saciedad en una charla hace unos meses delante de muchos profesores de secundaria al expresarles lo que sentía en infinidad de ocasiones en las clases de 1º de ESO (el año pasado).

Y, NO, no hablo de aprender, hablo de entender.

Ingenio y raíces cuadradas

A veces un profesor se encuentra con alumnos despiertos.
Bien es cierto que, cuanto más avanzamos en los cursos del sistema educativo es más difícil que esto suceda. A lo largo de los años de Escuela Primaria, Secundaria y Bachillerato les vamos anestesiando a base de algoritmos sin sentido, de no enseñarles a pensar sino a memorizar y a repetir, de olvidar los conceptos y la esencia de las cosas y limitarnos a ... lo habitual.

Yo he tenido mucha suerte. El año pasado tuve un buen conjunto de alumnos despiertos en 1º de la ESO y, este año, unos cuantos de ellos, no todos, me los he vuelto a encontrar en 2º.
Entre esta pléyade ^(*) se encuentra Javier G., "chico listo donde los haya, casi tanto como vago para coger un bolígrafo, pero que tiene esa intuición precisa para las cosas de números, que lo distingue".

(*) pléyade: Grupo de personas famosas, especialmente en las letras, que viven en la misma época

Estábamos el otro día haciendo la raíz cuadrada de 71 que les había puesto en un examen y, obviamente:

En el examen la podían hacer por el método que quisieran pero me tenían que dar el resultado con un decimal y que yo viera las operaciones realizadas. No había calculadora.
Como uno de los métodos, tal vez el mejor con esta aproximación y para números tan pequeños, era el de tanteo y acotación ... llegamos a la conclusión de que el resultado era : 8'4
Como otro de los métodos posibles sería el realizar el algoritmo clásico, si lo recordamos, llegamos a la conclusión de que el resultado era: 8'4

Y entonces Javier levantó la mano:

- Jorge - me dijo- es casualidad que ... (aquí yo había desconectado)
- Si - contesté- es casualidad.

Pero Javier, sólo cuando quiere, puede ser persistente y con sus intuiciones numéricas, a veces, coge el bolígrafo. Así que, al día siguiente me vino con una hoja y 3 ó 4 raíces cuadradas hechas con su algoritmo y me dijo nada más entrar:

- Jorge, es que lo que te dije ayer, he probado y ...
- Vete a tu mesa - le dije- y cuando tus compañeros se callen nos lo cuentas a todos.
[...] Hecho el silencio comenté que, el día anterior no le había hecho ni caso pero que quería preguntar algo así que le di la palabra para que lanzara la pregunta ...
En primer lugar - contesté más o menos así - he de confesarte que ayer ni te escuché la pregunta, pero si te has molestado en trabajarla en casa y hacer raíces entonces ahora te escucho.
- Es casualidad que, cuando hago la raíz por el algoritmo, las dos últimas cifras de la derecha en la última operación - las señalo en rojo en la imagen inferior- coincidan con las dos últimas cifras de la comprobación - las señalo en rojo en la imagen inferior- Además - añadió- he probado si lo hago con más decimales y también funciona.

La verdad es que Javier puede llegar lejos. Ve donde los demás ni sueñan ver. Así que, se mereció mi atención y mi respuesta. Nunca nadie me había preguntado tal cosa. Nunca yo me había a parado en tal observación. Pero solo hay que mirar y ver.

NO, no es casualidad. Voy a intentar explicártelo, bueno, a intentar explicarlo para todos.

Y se lo expliqué, o le esbocé la explicación empezando de este modo y dejando que el instruido, o atento, o suspicaz, o inquieto, o tenaz, o persistente ..., lector lo acabe de entender y lo generalice:

Cuando te dan un número entero para calcular su raíz, si quieres sacar decimales, debes "bajar dos ceros".
En la operación auxiliar de la derecha para intentar ajustar el resto anterior, las dos últimas cifras, esas que tú me indicabas, son las que coincidirán al restar precisamente con los dos ceros.
Luego ...

Dos exámenes muy tristes

Dos exámenes muy tristes ...

No es lo que pregunto, es lo que responden y cómo lo responden lo verdaderamente triste. Casi todo sigue igual, sólo aquellos que logran entender de verdad llegan a lo que se pretende.
"El problema es que la mayor parte de los profesores asumen que, hacer denominador común, multiplicar numeradores por numeradores, multiplicar en cruz, ... es entender algo"
¡Sigo pensando que, el fin, no justifica los medios!

Las matemáticas de la escuela

Era un día de examen de matemáticas para 2º de la ESO y ésta era una de las preguntas:

3. Discutíamos mi primo y yo sobre una tarea que nos habían puesto de matemáticas:

\frac{3}{4} \cdot \frac{48}{15} =

- ¡Que si se multiplica en cruz, que si se hace denominador común, que si se …!

De pronto, cosa rara, nuestros padres nos hicieron reflexionar sobre este pequeño párrafo:

Cuando discuten dos matemáticos - y lo hacen, a menudo de un modo muy apasionado y agresivo -, de repente uno se detiene y dice: 'Lo siento, tienes toda la razón, ahora veo mi error'. Y se irán y comerán juntos, como grandes amigos"

Cartas a una joven matemática – Ian Steward -

Así que:

A) Reflexiona y explica qué me pide esa operación matemática y, cómo haríamos lo que pide, en la vida real.

B) Observa después que, con “la regla adecuada de la clase de matemáticas” el resultado es el mismo.

La respuesta de una de mis nuevas alumnas ha sido totalmente demoledora:
A) Me pide que haga $\frac{3}{4} por \frac{48}{15}$ , y yo lo que haría sería multiplicar los denominadores y los numeradores como me hayan enseñado en el colegio. Yo creo que eso no saldría en la vida real.

Jesica Ji

Si algún profesor de matemáticas quisiese mirar, salir fuera de su cascarón y entender, no harían falta comentarios.

¿Para qué?, me volví a preguntar con una infinita tristeza, ¿para qué?

Nadie quiere entender lo que pregunto y está delante, en las narices de todos, frente a vosotros ... Y todos mirando hacia otro lado.

Que el mundo siga dando vueltas, que las matemáticas de la escuela sigan sin tener nada que ver con la realidad, que para "enseñar" matemáticas siga valiendo cualquiera...

Sentido común versus factor común

En principio, el título de esta entrada iba a ser "Factor común versus Sentido común", pero, una vez más, antes de escribirla quise asegurarme del significado último de la palabra versus, comúnmente abreviada vs. Así que, no sólo el título cambió sino que mi entrada ha encontrado una doble finalidad. Comenzaremos por lo que en principio iba a ser y terminaremos por lo que el destino ha deparado como complemento:

Desde el Sentido común HACIA el Factor común:

Como he indicado en alguna otra ocasión, el sentido común no es muy usual en la enseñanza de las matemáticas y si lo fuera, nada sería tan abstracto y fuera de la cotidianeidad:

2 perros + 3 perros - 4 perros = 1 perro = perro

A nadie se le escapa que, el sentido común guía la respuesta anterior y que, si en vez de perros hablamos de cualquier otra cosa, entidad, fantasía o abstracción, el resultado será el mismo:

Cosa: 2 casas + 3 casa - 4 casas = 1 casa = casa
Entidad: 2 almas + 3 almas - 4 almas = 1 alma = alma
Fantasía: 2 hadas + 3 hadas - 4 hadas = 1 hada = hada
Abstracción: 2 α + 3 α - 4 α = α

Queda claro en el ejemplo que, todo es igual pero la Abstracción resulta más abstracta; redundancia que viene a abundar en la propia esencia del concepto de abstracción como algo que supone un esfuerzo de extracción mental de la esencia. Ahora, por destacar un matiz sencillo pero trascendente, el plural está implícito y debe leerse : "dos alfas, ...".

Queda perfectamente claro que, aplicando simplemente el sentido común:

2·11 + 3·11 - 4·11 = 1·11 = ·11

Me encantó el viernes escuchar a un alumno de 2º de ESO jactarse ufano de que le había puesto a sus padres ejemplos de este tipo y que siempre lo hacían multiplicando primero y sumando y restando después. ¿Cómo van a ayudar esos padres a sus hijos a entender lo que yo les enseño? , me pregunté.

El sentido común me permite dar un ligero paso hacia la abstracción y poder entonces razonar así:

5 X + X - 3 X = (5 + 1 -3) X = 3 X

Habrá personas que aquí, ya empicen a patinar con la abstracción de terminología de las X y de los paréntesis e incluso que le cueste llegar a entender que:

5 X + X - 3 X NO ES IGUAL que (5 + 1 -3) = 3

porque, al principio tenía X y, después dejé de tenerlas para quedarme sólo con cifras.

Resulta que en las clases y los libros de matemáticas a esta aplicación del sentido común se le denota sacar factor común. Y con el factor común la mayor parte de nuestros alumnos no entienden:

¿Por qué se le llama así? (Nunca se les explica)
¿A qué responde? (Pocas veces se les hace reflexionar sobre ello)
¿Qué es un factor, qué es común y común a qué?
¿Por qué es habitual que, con una operación como la anterior, a un gran porcentaje de ellos se les ovide que el sumando central está y pongan burradas como esta:

5 X + X -· 3 X = (5 - 3) X = 2 X

Pero lo más natural resulta explicar a todo el mundo lo que dice el sentido común para después ir hacia el factor común, pero sólo para aquellos a los que las abstracciones y/o las matemáticas les resulten llamativas como para perder su tiempo con ellas. A los demás, sinceramente, para aprenderse de memoría y sin sentido algo como el factor común, mejor que reciten poesías.

Sentido común VERSUS Factor común:

Resulta que la palabra Versus es de origen latino, suele abreviarse en vs y significa «hacia» o «frente a». Esta palabra ha sido introducida por el inglés en el sentido de «contra», pero es de uso impropio en español. Con un poco más de detalle puedes ver el mismo comentario en esta web sobre el origen de las palabras.

Así que, obviamente, mi manifiesta ignorancia me hizo pensar en el título original de esta entrada como "Factor común vs. Sentido común" en alusión clara a la confrontación, a la lucha que mantengo día a día contra el sistema que pugna por defender el Factor común mientras yo no hablo de él hasta muy adelante (tal vez 3º ó 4º de la ESO) mientras sostengo el frente del Sentido común.

Sólo después de hacer que "mi lengua no se adelantase a mi razón", consultado el verdadero sentido de Versus, he optado por la pedagogía del "Sentido común hacia el Factor común". Tal vez de una manera excesivamente romántica porque versus (hacia) conlleva una connotación de ir hacia el otro pero frente a frente y, en mi caso, no es del todo así. Quiero que ambas cosas se acerquen, convergan, se den la mano, pero partiendo de una para caminar hacia la otra.

"Desde mi sentido común voy hacia la abstracción del factor común" pero que sólo vaya el que quiera, porque las matemáticas de la escuela son matemáticas para la vida y, nos guste o no, la enseñanza hasta los 16 años es la enseñanza de la "escuela" y no la enseñanza del "instituto de segunda enseñanza" como los políticos nos han querido hacer ver para intentar engañarnos a todos:

A los que fuimos profesores de instituto y hoy somos de secundaria para que no protestásemos por habernos encomendado una tarea para la que no fuimos preparados ni a la que opositamos.
A los maestros para hacerles creer en una igualdad estúpida entre primaria y secundaria cuando no hay nada más desigual en su propia naturaleza educativa y no es cuestión de prestigio o conocimiento sino de cualidad.
A los padres... de cualquier manera, porque nunca entendieron la diferencia, siguen sin entenderla y sólo importa el concepto de guardería que conlleva la enseñanza: "menos vacaciones para los maestros y más tiempo en la escuela para que guarden a nuestros hijos mientras nosotros trabajamos".

Curiosamente en todos estos argumentos últimos hay mucho de "frente a" de "lucha con", de la variante inglesa de VERSUS que se ha impuesto en nuestras vidas.

Un problema de potencias

¿Por qué un problema como el que aquí planteo no es un problema de 1º de la ESO y, se convierte en un problema difícil de 4º de la ESO?
Tengo la respuesta. Me la ha dado mi hijo que ya ha terminado la ESO cuando me ha dicho que, nunca le habían hecho reflexionar sobre el hecho de que:

$10^{9}$ son 10 veces $10^{8}$

Os he de confesar que, lo que de verdad dijo es que, a él, no le habían enseñado eso. ¡Ya sabes, cosas de alumnos!
Así que aquí os propongo, pequeños alumnos, el mismo problema que puedo proponer, y de hecho he propuesto durante muchos años a, alumnos de 3º de ESO, de 4º de ESO, de 1º de Bachillerato y, a muchos Bachilleres hechos y derechos, siempre con muchas más decepciones que alegrías:

Una estrella se encuentra de la Tierra a:

3,11 \cdot 10^{32} u

. Otra estrella, alineada con ellas se encuentra de la Tierra a una distancia de:

3,11 \cdot 10^{33} u

. Haz un dibujo a escala de la posición de la Tierra y las dos estrellas representando cada una por un punto con los nombres ( T, E1, E2)

La solución, si no das con ella, léela en: Un problema de potencias de derecha a izquierda

Operaciones y más operaciones

Ninguna pregunta de estos exámenes de operaciones que adjunto aquí tendría sentido sin entender primero lo que se recoge en algunas entradas previas de este blog:

Para nuestra desgracia y la de nuestros alumnos, la mayor parte de ellos las realizan sin sentido. Pero cada vez, después de insistir durante más de un año, veo que muchos de mis alumnos están entendiendo.
Quiero dedicarle esta entrada a uno de ellos (Ander) que, hace unos días me dijo algo parecido a esto después de salir de una clase en la que hablamos de potencias:
"Sabes Jorge, quiero decirte que creo que tenías razón" .
El año pasado sufrió conmigo durante todo el curso, éste volverá a sufrir, pero creo que había visto algo que antes no había conseguido ver.
"Me alegro por tí", le contesté, "porque te aseguro que, si lo entiendes, todo será más fácil aunque te haya costado tanto tiempo verlo".

Y así es, me alegro por él y por los demás que llegan a verlo y me entristezco por todos los que, lejos de escucharme, se siguen aprendiendo las reglas de toda la vida.

Examen de operaciones de 2º de ESO B. 2011-2012

Examen de operaciones de 2º de ESO C. 2011-2012

Un limón y medio limón ...

Había un juego infantil, o tal vez no tan infantil que empezaba diciendo "Un limón y medio limón". No sé muy bien en qué consistía pero seguro que todos sabemos contestar a preguntas como estas:

¿Cuántos limones son 'un limón y medio limón'?
¿Cuántos limones son '9 limones menos un limón'?

Así que, de eso va nuetra lección de hoy: de cómo, los castillos más complejos de operaciones, si los viésemos como algo natural, tendrían una resolución natural. Ya habrá tiempo para aprender reglas sin sentido más tarde y, entonces, cuando las aprendamos, se convertirán en reglas naturales.

Todos los habitantes de mi pueblo saben , y por supuesto mi abuelo sabía, que un limón y medio limón da para mucho:
- Si estamos 3 personas nos lo prodríamos repartir sin problemas: "medio limón a cada uno", porque disponemos de 3 mitades de limón: $\frac{1 + \frac{1}{2}}{3} = \frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{2}$
- Si estamos 6 personas nos lo podremos repartir sin problemas. ¡Esperad, no lo chupéis!, diríamos a los tres primeros, que cada uno de vosotros debe repartirlo con otra persona así que, disponemos de 6 cuartos de limón : $\frac{1 + \frac{1}{2}}{6} = \frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{6} = \frac{3 \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{4})}{6} = \frac{6 \cdot \frac{1}{4}}{6} = \frac{1}{4}$
Casi todo el mundo sabe también que si tenemos nueve limones y nos quitan un limón nos quedaremos con 8 limones.
Es posible incluso que esto no haga falta explicarlo.
- La duda está entonces en saber por qué no es lo más evidente que: $9 x - x = 8 x$ Sin necesidad de decir tonterías del tipo de restar términos semejantes
- Pero más maravilloso es observar que:
  $9 \cdot 9 - 9 = 8 \cdot 9$
- Y qué me dices entonces si tenemos:
  $\frac{9^{7} - 9^{6}}{8} = \frac{9 \cdot 9^{6} - 9^{6}}{8} = \frac{8 \cdot 9^{6}}{8} = 9^{6}$

Pero a quién se le ocurre ...

Le cuento a mis alumnos que, como las matemáticas que han aprendido en la escuela no tienen nada que ver con la realidad, en las escuela las cuestiones más simples y evidentes de la calle se convierten en cosas ininteligibles, de imensa dificultad, esperpénticas.

¿A quién se le ocurre afirmar en la calle que, si tienes una deuda de 20€ y, después adquieres otra deuda de 14€, en realidad tu deuda total es de 6€?

En la escuela, esto es posible: ¿ - 20 -14 = -6 ?

¿A quién se le ocurre afirmar en la calle que, si tienes una deuda de 25€ y tu tía te regala 30€, lo que ha hecho tu tía es perjudicarte porque ha convertido tu deuda en 55€?

Y, por supuesto, en la escuela, esto también es normal: ¿ - 25 + 35 = -55 ?

Las causas pueden ser diversas pero, os aseguro que, la manera de enseñar las operaciones combinadas de sumas y restas en la escuela es, cuando menos, triste. ¡Reglas sin sentido para que ningún alumno relacione una operación con su vida diaria!

Así que, cuando me encuentro con estas barbaridades (casi cada día) les digo que van a ser adultos estándar y que, cuando un político se suba a un estrado o salga por la tele y diga ...:

"Os aseguro que el Partido Contrario os ha prometido 5€ por persona pero, nosotros, el Partido Contrario del Contrario os ofrecemos más. Nosotros os daremos los 5€ por persona y, además, os daremos menos 6€ más a cada uno"

... Si el político es de "los míos" gritaré como un loco ... SIIIIIII, eso SIIIIII, y no lo que nos dan los miserables de los Contarios.

... Si el político es "de los otros" gritaré como un loco .... NOOO, eso no es posible porque se vaciará la caja del dinero y no tendréis suficiente sin subir más los impuestos.

Por si las moscas, nunca escuches ni pienses, no sea que lo que te hayan prometido se parezca a:

5 + (-6) = 5 -6 = -1

Hoy, sin ir más lejos leía en la novela Silvia y Bruno (I) de Lewis Carroll ...

"Y entonces todos dieron vivas de nuevo, y un hombre, que estaba más excitado que los demás, lanzó su sombrero al aire y chilló (tal como yo podría transcribirlo) '¿Quién está afavor del Sub-Alcaide?' Todos gritaron, pero si a favor del Sub-Alcaide o no, es algo que no estaba claro: Unos gritaban: '¡Pan!', y otros '¡Impuestos!', pero ninguno parecía saber realmente lo que querían."

Y después de leer esto he pensado ...

-¿Acaso soy yo también, como su personajes, un trasunto del propio Lewis?

- ¡Ya me gustaría!

Una colección de exámenes

A petición de alguno de mis alumnos pongo aquí los enunciados de los últimos exámenes. Dos de ellos, los dos últimos, no se los llevaron para casa así que, algunos querían tenerlos o que viesen los enunciados sus padres.
Se que hace mucho que deje el blog en "stand by" por circunstancias que no vienen al caso, aunque espero retomarlo en el próximo curso. Por ahora, aquí van los enunciados:

La Rebelión de los números

No sé si os dais cuenta de que las matemáticas forman parte de nuestra vida.
No, ¿verdad? No te has dado cuenta. De hecho, lo más probable que no sea así. ¡Seguro que no es así! ¡Tristemente no es así! Las matemáticas no forman parte de tu vida mas allá de la propia clase de matemáticas.

Antonio de la Fuente Arjona nos dice, a través del "PROFE DE MATES", en su obra de teatro "La rebelión de los números" que, al menos, los números siempre están ahí; no podemos vivir sin ellos y, sin embargo, no les hacemos caso, no les queremos, no los entendemos y un día se enfadarán y nos abandonarán.

Sólo se valora lo que se pierde ...

[...]
SILVIA: (Realmente arrepentida.) Perdóneme, Profe, pero es que en cuanto empieza la clase de matemáticas me da un sueño… (Y bosteza.) ¡Uy!, perdón.
OMAR: Es que las mates son un poco rollo.
SARA: Yo no puedo con ellas.
MARCOS: ¡Pues anda que yo!
PROFE DE MATES: ¿Pero no os dais cuenta que las matemáticas forman parte de nuestra existencia?
CHEMA: ¿De verdad?
[...]

Hay un Canción de Luis Eduardo Aute que nos dice ...
[...]
Cine, cine, cine,
más cine por favor,
que todo en la vida es cine
y los sueños,
cine son.
[...]

Y no, probablemente para tí no sea así. Tampoco tu vida y tus sueños sean cine.

Pero te aseguro una cosa ...

Con las matemáticas, como con el cine, como con la vida, puedes disfrutar, te puedes divertir, puedes soñar ... Pero esto será cuando entiendas que, hasta en el más oscuro e inhóspito rincón del conocimiento, hay belleza y es fantástico encontrarla porque, entonces, aquel rincón se llenará de luz.

Los exámenes del Tema 6

Entraban cosas del Tema 6 (Lenguaje algebraico)

La belleza de un problema. La simplicidad del entendimiento

Cómo cambia un problema cuando pasa de ser un problema de clase de Matemáticas a ser un reto real, algo que no tiene que ver con las "Mates de la Escuela", algo que tiene que ver con las "Mates de la vida".

Un problema de punto rojo de nuestro libro, algo casi imposible de hacer y, sin embargo, tal fácil y con tantas matemáticas dentro:

Tengo un montón de baldosines cuadrados y, con ellos, quiero formar un cuadrado lo más grande posible. Me pongo a la tarea y, me doy cuenta que, si lo intento, me sobran 23 baldosines, pero también observo que, para conseguir un cuadrado de un baldosín más por lado, me faltan 46.
¿Cuántos baldosines tengo en mi montón?

Empecemos por entender el problema, tan fácil y tan imposible a la vez. No hay mejor manera que ponerse manos a la obra y colocar baldosines.

¡NOOOOOOOOO, Así NOOO!
Ponte a colocar baldosines para resolver el problema.
Si no sabes lo que digo, ólvidate de seguir adelante
Empecemos en serio.

Con un cuadradito.
¿Tengo más para seguir? ... ¿Cuántos necesito para completar otro cuadradito? ... Tal vez 3.
¿Tengo más para seguir? ... ¿Cuántos necesito para completar otro cuadradito? ... Tal vez 5.
¿Tengo más para seguir? ... ¿Cuántos necesito para completar otro cuadradito? ... Tal vez 7.
Tal vez ahora entiendas lo que significa que te sobren o te falten cuadraditos. ¿Cuántos necesitas para completar el siguiente cuadrado?
¡No sigas! ¡Párate y piensa!
¿Qué has hecho en cada paso?
¿Cuantos cuadrados has necesitado cada vez?
Imagina que has completado un cuadrado de 4 cuadraditos de lado. ¿Cuantos necesitarás para hacer el siguiente de 5 cuadraditos de lado?

Si crees que lo tienes claro ...
Si hubieras completado un cuadrado de 15 cuadraditos de lado ... ¿Cuántos necesitarías para completar un cuadrado de 16 cuadraditos de lado?
No sé hasta dónde he llegado, lo que sé es que me sobran 23 baldosines y necesito 46 más para completar el siguiente cuadrado
No debería decirte más ... El problema debería estar resuelto.
Si no es así, no sigas adelante, comienza desde el principio
Ahora fíjate en lo siguiente:
- Si tengo un cuadradito y me dan 3 ... la cosa cuadra
  1 + 3 = 2² = 4.
- Si tengo dos cuadraditos de lado y me dan 5 cuadraditos... la cosa cuadra
  (1 + 3) + 5 = 2² + 5 = 4 + 5 = 3².
- Si tengo tres cuadraditos de lado y me dan 7 ... la cosa cuadra
  (1 + 3 + 5) + 7= 3² + 7 = 9 + 7 = 4².
- ...
- Si tengo 10 cuadraditos de lado y me dan 21 ... la cosa cuadra
  (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 )+ 21= 10² + 21 = 11².
- ...
Yo concluyo algo realmente interesante de todo esto:
- La suma de muchos números impares seguidos, empezando desde el 1 , es un cuadrado perfecto
- La suma de 10 números impares seguidos desde el 1 me da un cuadrado de 10 cuadraditos de lado: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 10² = 100
- La suma de 30 números impares seguidos desde el 1 me da un cuadrado de 30 cuadraditos de lado:
  1 + 3 + 5 + ... + 59 = 30² = 900
- ¿Y la suma de 50 números impares consecutivos ?
Este cuento podría seguir con más historias y, seguro que no podríamos dejar de hablar de Gauss ... pero eso será otro día.