La belleza de un problema. La simplicidad del entendimiento

Cómo cambia un problema cuando pasa de ser un problema de clase de Matemáticas a ser un reto real, algo que no tiene que ver con las "Mates de la Escuela", algo que tiene que ver con las "Mates de la vida".

Un problema de punto rojo de nuestro libro, algo casi imposible de hacer y, sin embargo, tal fácil y con tantas matemáticas dentro:

Tengo un montón de baldosines cuadrados y, con ellos, quiero formar un cuadrado lo más grande posible. Me pongo a la tarea y, me doy cuenta que, si lo intento, me sobran 23 baldosines, pero también observo que, para conseguir un cuadrado de un baldosín más por lado, me faltan 46.
¿Cuántos baldosines tengo en mi montón?

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1. Empecemos por entender el problema, tan fácil y tan imposible a la vez. No hay mejor manera que ponerse manos a la obra y colocar baldosines.
   
   ¡NOOOOOOOOO, Así NOOO!
   Ponte a colocar baldosines para resolver el problema.
   Si no sabes lo que digo, ólvidate de seguir adelante
2. Empecemos en serio.
   
   
   Con un cuadradito.
   ¿Tengo más para seguir? ... ¿Cuántos necesito para completar otro cuadradito? ... Tal vez 3.
   ¿Tengo más para seguir? ... ¿Cuántos necesito para completar otro cuadradito? ... Tal vez 5.
   ¿Tengo más para seguir? ... ¿Cuántos necesito para completar otro cuadradito? ... Tal vez 7.
   
3. Tal vez ahora entiendas lo que significa que te sobren o te falten cuadraditos. ¿Cuántos necesitas para completar el siguiente cuadrado?
4. ¡No sigas! ¡Párate y piensa!
   ¿Qué has hecho en cada paso?
   ¿Cuantos cuadrados has necesitado cada vez?
   Imagina que has completado un cuadrado de 4 cuadraditos de lado. ¿Cuantos necesitarás para hacer el siguiente de 5 cuadraditos de lado?
   
   
   Si crees que lo tienes claro ...
   Si hubieras completado un cuadrado de 15 cuadraditos de lado ... ¿Cuántos necesitarías para completar un cuadrado de 16 cuadraditos de lado?
5. No sé hasta dónde he llegado, lo que sé es que me sobran 23 baldosines y necesito 46 más para completar el siguiente cuadrado
   
   
6. No debería decirte más ... El problema debería estar resuelto.
   Si no es así, no sigas adelante, comienza desde el principio
7. Ahora fíjate en lo siguiente:
   
   • Si tengo un cuadradito y me dan 3 ... la cosa cuadra
     1 + 3 = 2² = 4.
   • Si tengo dos cuadraditos de lado y me dan 5 cuadraditos... la cosa cuadra
     (1 + 3) + 5 = 2² + 5 = 4 + 5 = 3².
   • Si tengo tres cuadraditos de lado y me dan 7 ... la cosa cuadra
     (1 + 3 + 5) + 7= 3² + 7 = 9 + 7 = 4².
   • ...
   • Si tengo 10 cuadraditos de lado y me dan 21 ... la cosa cuadra
     (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 )+ 21= 10² + 21 = 11².
   • ...
8. Yo concluyo algo realmente interesante de todo esto:
   
   • La suma de muchos números impares seguidos, empezando desde el 1 , es un cuadrado perfecto
   • La suma de 10 números impares seguidos desde el 1 me da un cuadrado de 10 cuadraditos de lado: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 10² = 100
   • La suma de 30 números impares seguidos desde el 1 me da un cuadrado de 30 cuadraditos de lado:
     1 + 3 + 5 + ... + 59 = 30² = 900
   • ¿Y la suma de 50 números impares consecutivos ?
9. Este cuento podría seguir con más historias y, seguro que no podríamos dejar de hablar de Gauss ... pero eso será otro día.