Matemáticas de 1º y 2º de ESO: 2010

Las Potencias ...

Cualquier persona sensata que repite hasta la saciedad las mismas cosas busca una manera abreviada de expresarse. Es agotador escribir:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5
Si lo tienes que hacer una vez ... pase. Pero si lo tienes que hacer a cada momento ... juguemos a abreviar y escribamos de una forma más corta y lo suficientemente clara para entenderla:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 ( haremos que se escriba) 9 · 3 ( y lo leeremos como nueve treses ó nueve por 3)
De este modo:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 9 · 3 + 9 · 5

Apliquemos el mismo juego para descubrir las potencias:
Es agotador escribir:
3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3
Así que vamos a escribirlo de una manera más corta:
3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 ( haremos que se escriba) 3⁹ ( y lo leeremos como nueve treses multiplicándose ó 3 elevado a nueve)

Ni se te ocurra aprenderte ninguna estupidez más sobre las potencias
No hagas caso a nadie, confía en mí. Olvídate de las reglas que memorizaron tus padres y las que te enseñarán los demás.
Como te he dicho en clase, sólo dos cosas debes saber de momento:

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto repetido

3⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 ; 7⁴ = 7 · 7 · 7 · 7
El exponente de una potencia afecta sólo a lo que tiene inmediatamente debajo

-7⁴ = - 7⁴ = - (7 · 7 · 7 · 7 )
(- 7)⁴ = (- 7) · (- 7) · (- 7) · (- 7)

Ahora haz que ambas cosas no se te olviden y, cada vez que veas una potencia, recuerda ambas cosas y sólo esas.
Te parecerá sencillo pero no lo es.
No lo es porque no me vas a hacer caso.
No lo es porque se te va a olvidar hacerme caso.
NO LO ES PORQUE TE VAS A EQUIVOCAR MILES DE VECES Y ENTONCES VERÁS QUE NO ME HAS HECHO CASO.

Aquí te dejo nuestro último examen de potencias para que compruebes una vez más que no me has hecho caso:

Decimales y Fracciones

Una cosa es el número y otra muy distinta la manera de representarlo.

"Mi abuelo sabía de lo que hablaba cuando afirmaba que tres cuartos más tres cuartos siempre fueron 3 mitades"
¿Qué importa si lo represento:

Así :
O así: 0'75 + 0'75?

"Todo ladrón que haya pertenecido a la banda del trío sabe que un tercio más la mitad de un tercio es un medio"
¿Qué importa si lo represento:

Así :
O así:

Ninguno de ellos tuvo Sobresaliente en Matemáticas, ni tan siquiera Notable, pero sabían de lo que hablaban...

¡Corre y dile a tus padres que lean esto! Porque de esto se trata el aprender, de entender lo que mi abuelo y todo ladrón del trío entendían y no de resolver las cuentas sin entender lo que haces y sin entender si están bien o mal.
No me hables de que se multiplica en cruz o se hace el denominador común, háblame de que tiene sentido lo que haces porque haciéndolo así ..., el resultado es verdad, el resultado es correcto ... el resultado tiene sentido

Sólo si cuando ves un número, éste significa algo para tí, sólo entonces estarás aprendiendo.

Este fue nuestro examen sobre estas cuestiones:

Examen Temas 1 , 2 , 3 y 4 de 1º ESO (Diciembre-2010)

¿Cuándo me olvidé de ti? ... Mucho antes de lo de los ciruelos chinos

No sé cuando dejé de escribirte; tal vez antes de que me leyeras o, tal vez, mantengo aún la esperanza, dejaste de hacerlo más tarde.

Pero te hablé y te hablé. No es excusa, aunque prioricé otras cosas y hoy estoy arrepentido. Mi debilidad es mayor que mi deseo.

Me marché leyendo para tí " ¿Y los ciruelos chinos?"

El día de Navidad me hizo renovar la esperanza: hay muchas más plantas rojas moradas y azules ...

Tal vez, el año que viene, cuando volvamos a encontrarnos alguien sea capaz de sacarme del marasmo y devolverme a la vida y deje de plantearme nuevamente lo mal profesor que soy por provocar tan solo "dudas insípidas".
Tal vez, en la próxima evaluación, algún padre más comprenda que lo importante no es "sacar la asignatura sino aprender de ella".

Sigo soñando porque he visto más, he leído más y oí hablar incluso de coles lombardas, moradas, ligeramente dulces .

Exámenes Temas 1, 2 y 3

Aquí os cuelgo los exámenes que hemos hecho esta semana pasada para que los hagas tranquilamente en tu casa, con calma y con tiempo y te demuestres a ti mismo lo que realmente entiendes y has aprendido.

Entraban cosas del Tema1 (números naturales y divisibilidad), Tema2 (números enteros), Tema3 (Fracciones)

Nuestro segundo examen

Tal y como hicimos con los primeros exámenes, aquí os coloco los enunciados del 2º examen en el que entraban los temas 1 y 2:

Operaciones. Tema 2

Hoja de ejercicios: Operaciones y propiedades II (PDF)

En el enlace tienes una hoja de ejercicios para que practiques, fundamentalmente aspectos que hemos visto en el Tema 2.

La regla de los signos

No me extraña que mis alumnos me pregunten por la regla de los signos, pero me resisto a contarla.

"Las reglas" que aplicamos sistemáticamente en las matemáticas escolares son, casi siempre, deducciones sencillas de razonamientos poco complejos; han sido el resultado del estudio de situaciones; han llegado haciendo matemáticas.

Dice Ian Steward en su libro Cartas a una joven matemática :

"Las escuelas [...] están tan preocupadas por enseña a sumar que apenas preparan a los alumnos para responder (o incluso plantear) la pregunta mucho más difícil e interesante: ¿qué son las matemáticas?

[...] Cuando discuten dos matemáticos - y lo hacen, a menudo de un modo muy apasionado y agresivo -, de repente uno se detiene y dice: 'Lo siento, tienes toda la razón, ahora veo mi error'. Y se irán y comerán juntos, como grandes amigos"

4 x 3 :
- Es una forma abreviada de escribir: 3 + 3 + 3 + 3
- Es una forma precisa de representar la suma de cuatro treses
- Es una forma evidente de indicar +12
4 x (-3) :
- Es una forma abreviada de escribir: (-3)+(-3)+(-3)+(-3)
- Es una forma precisa de representar la suma de cuatro deudas de 3€ cada una
- Es una forma evidente de indicar que tengo una deuda de 12€
- Es claro que lo representamos con -12
(-4) x (3)
- Es una forma abreviada de escribir: (-4)+(-4)+(-4)
- Es una forma precisa de representar la suma de tres deudas de 4€ cada una
- Es una forma evidente de indicar que tengo una deuda de 12€
- Es claro que lo representamos con -12
(-4) x (-3) :
- Es una forma abreviada de escribir: me quitas 4 deudas de 3€ cada una
- También es una forma abreviada de escribir: me quitas 3 deudas de 4€ cada una
- Representa pues el hecho de que me quitas una deuda total de 12
- Si tengo una deuda de 12€ y me la quitas, me la perdonas, me estas regalando 12€
- Es claro que lo representamos es +12

¿Cuando entiendo lo que acabo de exponer es muy fácil concluir, si la necesito, la regla de los signos; es muy fácil reconstruir, si la he olvidado, la regla de los signos; es muy fácil entender, por qué es así, la regla de los signos:

(+) x (+) = (+)
(+) x (-) = (-) : Un conjunto de deudas será siempre una deuda
(-) x (+) = (-) : Un conjunto de deudas será siempre una deuda
(-) x (-) = (+) : Si me quitas un conjunto de deudas, me estas dando

Cuando sólo te aprendes "la regla de los signos" sin que sea el resultado de tu reflexión, ... ¿Quién te salvará de hacer cosas que no entiendes? ¿Quién te impedirá agarrarte a tu memoria y discutir y discutir sin entender y por tanto sin poder decir ... "lo siento, tienes toda razón, ahora veo mi error"

¿Pero 4 es igual que 2? ... Imposible

Siempre estamos a tiempo para hacer magia, engañar a incautos o probar si realmente sabemos hacer "cuentas" lo suficientemente bien como para que no nos den "cero por 1".
En el Calendario Matemático de SM del curso 2008-2009 , mes de Mayo de 2009 , mes elaborado por el Departamento de Matemáticas del IES Leonardo Da Vinci de Albacete, aparece la siguiente falacia.

¿Dónde está la falacia?

Por cierto, esto me hace recordar que, en el Calendario Matemático de SM de este curso 2010-2011 , el mes de Marzo de 2011, ha sido elaborado por mi compañero y profesor de nuestro centro Javier Gallarreta Espinosa (Sirva esta entrada también como reconocimiento a tarea y, fundamentalmente, como premio a su gusto por las matemáticas).

Exámenes, exámenes, exámenes, ... ¿para qué?

Aquí os cuelgo los exámenes que hemos hecho del Tema 1 para que los hagas tranquilamente en tu casa, con calma y con tiempo y te demuestres a ti mismo lo que realmente entiendes y has aprendido:

Matemáticas y Narrativa

Desde hace unos años, la Real Sociedad Matemática Española y Anaya , convocan un concurso de relatos cortos.
Si te gusta escribir, anímate, pregunta a tu profesor de Matemáticas.

Bases del concurso Narraciones Escolares RSME-ANAYA 2010

Por si te sirve de ayuda, para que veas que no se trata de escribir textos de matemáticas sino literatura que haga guiños a las matemáticas, Anaya publicó el libro Ensoñaciones desde mi pupitre con los 18 cuentos seleccionados de la edición de 2008.

¿Por qué he llamado idiotas a mis alumnos?

No lo he podido evitar...
Hace no muchos años que aprendí lo que significaba la palabra idiota. Un profesor de Lengua del IES Valle del Oja de Santo Domingo de la Calzada comentaba en la sala de profesores que, a veces, llamaba idiotas a sus alumnos. Pero idiotas, no como insulto, sino como un calificativo.

Idiota: Corto de entendimiento. Que carece de toda instrucción.

Pero hoy intentaba explicar a mis alumnos lo que es un maestro ó profesor; quizá debería decir, lo que tendría que ser. Esta frase de una joven maestra con ansias de saber y aprender más para poder enseñar mejor, lo explica con mucha claridad:

"A veces ardo en deseos de poder estudiar mejor, de una manera diferente; de tener por guía, además de los libros, a un profesor y poder compartir las dificultades con los otros alumnos que las sufren, [...]"

La incógnita de Newton - Catherine Shaw

¿Qué ha pasado hoy en 1º C?
- He preguntado quién "no sabía hacer un ejercicio" que habíamos mandado como tarea el día anterior.
- Ni una sola mano se ha levantado de lo que, les he dicho:

" Deduzco que todos sabéis hacerlo. Por tanto voy a preguntar a cualquiera de vosotros y, si no lo sabe hacer, le pondré un 0. No por no saberlo, he añadido, sino por mentiroso e idiota"

- Pero siendo profesor necesitaba demostrarlo así que les he intentado enseñar algo:

"Voy a repetir la pregunta, he dicho, para que me digáis quién no sabe hacer el ejercicio, porque la tarea de un profesor no es poner ceros al que no sabe sino explicar al que no entiende y, la tarea de un alumnoes intentar entender y aprender y utilizar al profesor para ello."

- Todos los alumnos de la clase excepto 3 han levantado la mano. Muchos no entendían el ejercicio, la mayoría, otros no sabían si lo entendía porque no lo habían intentado. Pero el ejercicio no era sencillo, tal vez hacía falta un profesor para explicárselo a mucha gente. Pero ...

Múltiplos y Divisores. Ampliación

En tu libro, en la página 25 tienes ejercicios de ampliación. Te voy a proponer aquí uno de los ejercicios de ampliación que allí se encuentran y otros dos más ... para que te estrujes el cereblo si te gustan "las mates":

(Ej. 81 pág 25 del libro) Para cualquier par de números naturales, a y b se cumple que:

a x b = mcd(a,b) x mcm(a,b)
Justifica que, cualquier cuadrado perfecto¹ ( son cuadrados perfectos los números: 4, 9, 16, 25, 36, ...) tienen un número impar de divisores.
Justifica que, cualquier número natural que no sea un cuadrado perfecto¹ tiene un número par de divisores

1 .- Decimos que un número es un cuadrado perfecto si es el cuadrado de algún número natural: 16 = 4 x 4 , luego 16 es cuadrado perfecto. 15 no es cuadrado perfecto

Aprendiendo con tino

Las matemáticas, como todas las cosas, es importante entenderlas bien más que aprenderlas sin ton ni son.
Este pequeño fragmento, que no deja de tener cierto humor, nos lo ilustra:

[...] Pero lo más divertido es el propio Rey, un muchacho que busca diversiones y le hablan, sin embargo, del enemigo holandés, un muchacho al que aburren con asuntos de gobierno y que sólo espera ver a su maestro de matemáticas para divertirse. Cada día, cuando empezamos la lección, me doy cuenta de que tiene estudiadas muchas cosas y que dedica mucho tiempo a lecturas y a aprender, pero sin orden, de suerte que lo tiene todo confundido y para que cada cosa ocupara el lugar que le corresponde habría que cogerle de los pies y colgarlo con la cabeza abajo, agitarlo un rato y confiar en que la suerte ayude a aclarar sus estudios. Mezcla la aritmética con un álgebra mal aprendida y cuando se llega a los teoremas, sin duda por tenerlos estudiados en libros extranjeros, sólo sabe repetirlos en francés, sin que pueda aplicarlos hablando en castellano. Los principios de geometría los saben todos en latín, que es lengua que habla mejor que ninguna otra. Suma y resta con mucha velocidad, comprende bien las fórmulas de áreas y volúmenes y está muy interesado en la geometría y en la medición de ángulos, de suerte que es listo y muy capaz, pero hecho por mal sastre, porque lo que tiene de largo en esto lo tiene de corto en otras cosas, como si hubiera aprendido a trozos, haciendo paño de retales.

El matemático del Rey - Juan Carlos Arce -

mcd y mcm

Cuando en Matemáticas usamos las siglas mcd y mcm nos estamos refiriendo a:

mcm: mínimo común múltiplo de varios números
mcd: máximo común divisor de varios números

Olvídate de que estamos en matemáticas y piensa sólo en el significado de las palabras:

Olvídate de que estamos en matemáticas y piensa sólo en el significado de las palabras para contestar a:

¿Qué debes entender con la expresión "máximo común divisor"?
Pon un ejemplo que ilustre la explicación que has dado.
¿Es 2 el máximo comun divisor de 12 y 18? ¿Por qué?
¿Qué debes entender con la expresión "mínimo común múltiplo"?
Pon un ejemplo que ilustre la explicación que has dado.
¿Es 24 el mínimo común múltiplo de 4 y 6? ¿Por qué?

Explica en términos de reparto o de empaquetamiento el significado del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo

Olvídate de que estamos en matemáticas y piensa sólo en el significado de las palabras para contestar a:

Si el "máximo común divisor" de dos número es 1, ¿cuántos divisores comunes a esos números puedes encontrar?¿Por qué?
Si el "máximo común divisor" de dos número es 4, ¿cuántos divisores comunes a esos números puedes encontrar?¿Por qué?
Tenemos dos números de los que sabemos que 2 y 3 son divisores comunes a ambos. ¿Puede ser 3 el máximo común divisor?
Si el mínimo común múltiplo de dos números es 100, ¿Puedes se 90 un divisor común de esos dos números?¿Por qué?
Si el mínimo común múltiplo de dos números es 100, ¿tendrán esos dos números más múltiplos en común?¿Por qué?

La división como reparto o como empaquetamiento

La operación de la división es algo cotidiano en la vida real. La operación existe porque responde a una necesidad de todos los días.
Cada vez que veas una división puedes ver en ella uno de los siguientes aspectos:

Como un reparto: Tengo 357 caramelos para repartir entre 13 personas
- Cada uno se lleva 27 caramelos.
- Me sobran 6 caramelos.
Como un empaquetado: Tengo 357 caramelos y tengo que hacer paquetes de 13 caramelos:
- Podré hacer 27 paquetes.
- Me sobran 6 caramelos.

De este modo hay ejercicios que se convierten en simples juegos de lo más sencillo:

Sin hacer la división. Cuál será el cociente y el resto de las siguientes divisiones y por qué

358 : 13
360 : 13
364 : 13
352 : 13

Sabemos que un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Así que "279 es divisible entre 9"

Explica en términos de reparto, qué significa que "279 es divisible entre 9"
Sin hacer la división: ¿Cuál es el resto de dividir 280 entre 9? ¿Por qué?
Sin hacer la división: ¿Cuál es el resto de dividir 285 entre 9? ¿Por qué?
Sin hacer la división: ¿Cuál es el resto de dividir 274 entre 9? ¿Por qué?

Sabemos que un número es divisible entre 4 si el número que forman sus últimas cifras es múltiplo de 4. Así que

Sin hacer la división: ¿Es 279 divisible entre 4?
Indica el número más cercano a 279 que puedas que sea divisible entre 4 ¿Por qué?
Sin hacer la división: ¿Cuál es el resto de dividir 279 entre 4? ¿Por qué?

Prioridad de operaciones

Algunas de las diferencias más importantes entre una calculadora científica y otra que no lo es son:

Las calculadoras científicas respetan la prioridad de operaciones

Ejercicio:

Realiza en una calculadora científica y en otra que no lo sea la operación:

1 + 3 x 3 =
Observa que el resultado es diferente. Sólo la calculadora científica respeta la prioridad de operaciones y hace primero la multiplicación obteniendo el resultado correcto: 10 .

Las calculadoras científicas, al operar, trabajan con varias cifras que no se ven en pantalla que se usan para redondear.

Ejercicio:

Realiza en una calculadora científica y en otra que no lo sea la operación:

1 : 3 x 3 =
Observa que el resultado es diferente.

Matemagia numérica

Las matemáticas son una fuente inagotable para trucos de mágia. En este caso te presentamos trucos basados en las propiedades de los números y, en particular, del número 9:

TRUCO del 9: http://sferrerobravo.wordpress.com/2008/06/25/la-prueba-del-9/
Curiosidades sobre el 9: http://www.oviedocorreo.es/personales/comecoco/soluciones/sadivina9.htm
Magia con el 9: http://divulgamat.ehu.es/weborriak/recursosinternet/Juegos/Magia9.asp

Ejercicio:

Conviértete en mago. Aprende un juego de mágia del 9 de los enlaces anteriores y hazlo en tu casa a tus padres y/o tus hermanos.

Humor

Una de las muchas cosas fantásticas que puedes descubrir en divulgaMAT (Página de divulgación de la Real Sociedad Matemática española) es un conjunto de viñetas de Humor Gráfico que han aparecido en algunos medios de comunicación:

Prueba de Primavera

Ejercicios del Concurso de Primavera: Números romanos, Cálculo, Divisibilidad, ...

2001, 2014, 2015, 2016, 2105, 2107, 2015, 2201

2316, 2317

2007, 2104, 2018, 2122, 2124

El resto con Calculadora

La calculadora es una herramienta fabulosa y muy útil pero hay que saber utilizarla adecuadamente. Así que, aquí va un ejercicio para que lo hagas con calculadora.
Recuerda que Google también sirve para calcular. ( En el siguiente enlace tienes alguna ayuda para utilizar la calculadora de Google: ¡Ayuda! )

Ejercicio:

Obtén con la calculadora el resto de las siguientes divisiones:

23456 : 235
18964 : 123
4002 : 23
143782 : 19

Prueba del 9

La prueba del 9 es una antigua práctica que realizaban los alumnos para "comprobar" las operaciones como las multiplicaciones y, sobretodo, las divisiones, antes de existir las calculadoras.
Su razonamiento tiene que ver con los criterios de divisibilidad por 9.
En clase explicaremos su funcionamiento con más detalle. Aquí tienes algunos enlaces interesantes sobre la prueba del 9:

http://members.fortunecity.com/rillmar/matematicas/algodeMate.html
http://eliatron.blogspot.com/2009/05/la-prueba-del-9.html

Ejercicios

En la entrada anterior del blog te pedíamos calcular la letra del NIF Calcula la letra del NIF de todos los miembros de tu familia que lo tengan. Como tuviste que hacer divisiones, comprueba mediante la prueba del 9 las divisiones que has realizado.

Realiza las siguientes divisiones y compruébalas mediante la prueba del 9:
1234567 : 234 y 8765234: 475

Si la prueba del 9 está nos da bien cuando comprobamos una operación, ¿podemos estar seguros de que la operación está bien?¿Por qué?

Letra del NIF

El NIF (Número de Identificación Fiscal) está formado por un número de un máximo de 9 cifras (lo que realmente es el número de DNI) seguido de una letra.
El objetivo de la letra es hacer de "letra de control" y evitar errores.
Para el cálculo de la letra del NIF hay que hacer una división entre 23 y buscar el resto en la siguiente tabla:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
T	R	W	A	G	M	Y	F	P	D	X	B	N	J	Z	S	Q	V	H	L	C	K	E

Por ejemplo: para calcular la letra que le corresponde al número 16.111.111 haremos losiguiente:

1611111111 = 23 x 700483 + 2
Como el resto es 2 , buscamos la letra en la tabla y le corresponde la W

Ejercicios:

Calcula la letra del NIF de todos los miembros de tu familia que lo tengan y comprueba que obtienes el resultado correcto.

En la tabla anterior están sólo los números dese el 0 hasta el 22. ¿Por qué está exactamente estos números y no otros?

¡Atención!: Operaciones

Cuando vamos a hacer operaciones combinadas siempre es interesante mirar y analizar antes de ponernos a hacer cuentas a lo loco.
Aquí tienes varios casos en que es mucho mejor aplicar la propiedad distributiva en vez de no aplicarla aunque parezca lo contrario:

Ejercicio:

Piensa antes de operar y decide si es mejor aplicar la propiedad distributiva o no para hacer las operaciones de manera eficiente. Efectúa todos los pasos detalladamente:

9 x (7 + 13) - 7 x 9 =
9 x (7 + 13) + 7 + 9 =
5 x (7 + 3) - 2 x 7 =
3 x (14 + 3) + 3 x 3 =
999 x (11 + 12) + 11 + 12=
3 x (9 + 11) + 5 x 20 =
45 x ( 13 + 21) + 4 x (13 + 21) + 13 + 21 =

Operaciones. Propiedades

Hoja de ejercicios: Operaciones y propiedades (PDF)

En el enlace tienes una hoja de ejercicios para que practiques la importancia de las propiedades de las operaciones (en este caso las de la suma y la resta).
Tarea para la Semana de San Mateo (del 18/09/2010 al 26/09/2010).

Malditas Matemáticas

Si te gustan las matemáticas o, si no te gustan demasiado pero te gusta leer, el siguiente libro es una propuesta muy interesante que te permitirá descubrir algunas cosas curiosas desde otro punto de vista. Varios de los capítulos tratan de aspectos que vamos a ver durante el curso.

- Puedes comprarlo, no es muy caro, o puedes sacarlo de la biblioteca del centro (hemos pedido varios ejemplares)

- Si tienes dificultdes para conseguirlo, habla con tu profesor.

Presentación

Este blog contendrá documentos, hojas de ejercicios, referencias a curiosidades matemáticas, etc... relacionadas con las asignatura de Matemáticas.

Dificultad de las actividades:

Cuando aparezcan ejercicios o actividades procuraremos calificarlas del mismo modo que se hace en tu libro.

Actividad con mayor dificultad.

Actividad con cierta dificultad.

Actividad con menor dificultad. Todos debéis intentarla.

Ten en cuenta que la valoración de la dificultad es algo subjetivo y, por tanto, podría darse el caso que actividades calificadas como de menor dificultad te puedan resultar más complicadas o alrevés. Es. simplemente, algo orientativo que te debe llevar a intentar primero las de menor dificultad e ir subiendo poco a poco hasta donde tú puedas.

Prueba de Primavera:
Las entradas con este título harán referencia a ejercicios de la Prueba de Primavera de las Sociedad Riojana de Profesores de Matemáticas. Será siempre ejercicios de mayor dificultad.
En estas entradas aparecerá el logo de A'prima:

Si pulsas sobre él accederas a la página de entrada de la Prueba de Primavera. Si no tienes usuario y contraseña puedes entrar sin más que pulsar al botón Acceder.
Una vez dentro elige la opción del menú: · Practicar ejercicios seleccionados

Etiquetas:
Las entradas del blog tienen en su parte inferior una línea de Temas. En ella hay una o varias palabras que sirven para catalogarlas. Todas las entradas harán alusión a alguno de los temas del libro por lo menos, algunas de ellas podrán darnos información añadida:

* Tema 0: Introducción General
* Tema1: Números Naturales. Divisibilidad
[...]
Ampliación (Ejercicios y propuestas para saber más. Alta dificultad )
Calculadora
Curiosidades
Humor
Lectura
Magia
Mates para la vida