Nunca son los exámenes lo importante pero siempre acaban siéndolo.
Algún día aprenderemos que, los exámenes, nos permiten aprender.
Algún día aprenderemos que, los exámenes, nos permiten aprender.
Operar en matemáticas en los ojos de una alumna
El viernes pasado "solté una terrible disertación en mi departamento" al hilo de la operatoria de polinomios, de lo esencial en la enseñanza y de lo puramente mecánico y absurdo. De lo que debía ser el objetivo y de lo que realmente hacemos que sea. De que, desde mi punto de vista y parece que no compartido por todos, lo importante no es que se apliquen los algoritmos de manera mecánica sino de que estos sean un simple instrumento para ser capaz de hacer algo entendiendo por qué y para qué.
Hoy explicaba en 2º de ESO-C lo que yo creo que hay que explicar. Hoy les comentaba a mis alumnos que el algoritmo no es la esencia, es decir, que la forma no es la esencia, sino que lo que importa es el fondo y lo hacía con ejemplos como estos:
No cómo se haga:
Cuando hacía cosas como estas me alegraba ver a algunos de los alumnos que abrían los ojos y entendía, no que aprendían. Que muchos de los alumnos jugaban conmigo con la broma de "Brraeee" por, a más b.
Pero, fundamentalmente, me alegraba infinito que algunas alumnas que, por muy diversos motivos, el año pasado no veían nada conmigo como profesor, hoy iban viendo lo que pretendía mostrarles. Había más, pero hoy quiero dedicarles esta entrada del blog precisamente a ellas y, personalizado en ellas con sus nombres, a todos los que quieren ver y lo consiguen. Esas tres alumnas son Carlota B., Sara F. y Hanae E. Cada una en su medida, han dado un paso importante de lo que "su propio yo" y "su propio entorno fuera del aula" les dejaba ver el año pasado a lo que les deja ver este año. Una un sato grande, otra un salto muy grande, otra un salto inmenso.
Lo importante es esto:
No cómo se haga:
Pero el "sumun" de la felicidad lo he sentido cuando una de ellas me ha comentado, después de mi explicación, algo parecido a esto:
¿Alguien se imagina la felicidad de un profesor cuando tiene alumnos con interés por entender y él es capaz de abrirles la puerta a esa comprensión? Si esto no fuese un blog para alumnos de1º y 2º de la ESO, resumiría la sensación sentida de "una culminación de placer" por una palabra más mundana que repetí hasta la saciedad en una charla hace unos meses delante de muchos profesores de secundaria al expresarles lo que sentía en infinidad de ocasiones en las clases de 1º de ESO (el año pasado).
Y, NO, no hablo de aprender, hablo de entender.
Hoy explicaba en 2º de ESO-C lo que yo creo que hay que explicar. Hoy les comentaba a mis alumnos que el algoritmo no es la esencia, es decir, que la forma no es la esencia, sino que lo que importa es el fondo y lo hacía con ejemplos como estos:
Lo importante es esto:
No cómo se haga:
Cuando hacía cosas como estas me alegraba ver a algunos de los alumnos que abrían los ojos y entendía, no que aprendían. Que muchos de los alumnos jugaban conmigo con la broma de "Brraeee" por, a más b.
Pero, fundamentalmente, me alegraba infinito que algunas alumnas que, por muy diversos motivos, el año pasado no veían nada conmigo como profesor, hoy iban viendo lo que pretendía mostrarles. Había más, pero hoy quiero dedicarles esta entrada del blog precisamente a ellas y, personalizado en ellas con sus nombres, a todos los que quieren ver y lo consiguen. Esas tres alumnas son Carlota B., Sara F. y Hanae E. Cada una en su medida, han dado un paso importante de lo que "su propio yo" y "su propio entorno fuera del aula" les dejaba ver el año pasado a lo que les deja ver este año. Una un sato grande, otra un salto muy grande, otra un salto inmenso.
Lo importante es esto:
No cómo se haga:
Pero el "sumun" de la felicidad lo he sentido cuando una de ellas me ha comentado, después de mi explicación, algo parecido a esto:
- "Cuando yo era pequeña me preguntaba por qué era eso de 'me llevo una' cuando hacíamos las sumas. Cuando preguntaba por qué me decían que 'era así' ."
- Tal vez, quien te lo contaba, ni siquiera lo sabía - le he dicho-. Tú, por ejemplo, no sabías por qué hace cinco minutos y si un niño pequeño te hubiese preguntado lo mismo no hubieses sabido qué contestar.
¿Alguien se imagina la felicidad de un profesor cuando tiene alumnos con interés por entender y él es capaz de abrirles la puerta a esa comprensión? Si esto no fuese un blog para alumnos de1º y 2º de la ESO, resumiría la sensación sentida de "una culminación de placer" por una palabra más mundana que repetí hasta la saciedad en una charla hace unos meses delante de muchos profesores de secundaria al expresarles lo que sentía en infinidad de ocasiones en las clases de 1º de ESO (el año pasado).
Y, NO, no hablo de aprender, hablo de entender.
Ingenio y raíces cuadradas
A veces un profesor se encuentra con alumnos despiertos.
Bien es cierto que, cuanto más avanzamos en los cursos del sistema educativo es más difícil que esto suceda. A lo largo de los años de Escuela Primaria, Secundaria y Bachillerato les vamos anestesiando a base de algoritmos sin sentido, de no enseñarles a pensar sino a memorizar y a repetir, de olvidar los conceptos y la esencia de las cosas y limitarnos a ... lo habitual.
Yo he tenido mucha suerte. El año pasado tuve un buen conjunto de alumnos despiertos en 1º de la ESO y, este año, unos cuantos de ellos, no todos, me los he vuelto a encontrar en 2º.
Entre esta pléyade (*) se encuentra Javier G., "chico listo donde los haya, casi tanto como vago para coger un bolígrafo, pero que tiene esa intuición precisa para las cosas de números, que lo distingue".
(*) pléyade: Grupo de personas famosas, especialmente en las letras, que viven en la misma época
Estábamos el otro día haciendo la raíz cuadrada de 71 que les había puesto en un examen y, obviamente:
Bien es cierto que, cuanto más avanzamos en los cursos del sistema educativo es más difícil que esto suceda. A lo largo de los años de Escuela Primaria, Secundaria y Bachillerato les vamos anestesiando a base de algoritmos sin sentido, de no enseñarles a pensar sino a memorizar y a repetir, de olvidar los conceptos y la esencia de las cosas y limitarnos a ... lo habitual.
Yo he tenido mucha suerte. El año pasado tuve un buen conjunto de alumnos despiertos en 1º de la ESO y, este año, unos cuantos de ellos, no todos, me los he vuelto a encontrar en 2º.
Entre esta pléyade (*) se encuentra Javier G., "chico listo donde los haya, casi tanto como vago para coger un bolígrafo, pero que tiene esa intuición precisa para las cosas de números, que lo distingue".
(*) pléyade: Grupo de personas famosas, especialmente en las letras, que viven en la misma época
Estábamos el otro día haciendo la raíz cuadrada de 71 que les había puesto en un examen y, obviamente:
- En el examen la podían hacer por el método que quisieran pero me tenían que dar el resultado con un decimal y que yo viera las operaciones realizadas. No había calculadora.
- Como uno de los métodos, tal vez el mejor con esta aproximación y para números tan pequeños, era el de tanteo y acotación ... llegamos a la conclusión de que el resultado era :
- Como otro de los métodos posibles sería el realizar el algoritmo clásico, si lo recordamos, llegamos a la conclusión de que el resultado era:
Y entonces Javier levantó la mano:
- - Jorge - me dijo- es casualidad que ... (aquí yo había desconectado)
- - Si - contesté- es casualidad.
Pero Javier, sólo cuando quiere, puede ser persistente y con sus intuiciones numéricas, a veces, coge el bolígrafo. Así que, al día siguiente me vino con una hoja y 3 ó 4 raíces cuadradas hechas con su algoritmo y me dijo nada más entrar:
- - Jorge, es que lo que te dije ayer, he probado y ...
- - Vete a tu mesa - le dije- y cuando tus compañeros se callen nos lo cuentas a todos.
[...] Hecho el silencio comenté que, el día anterior no le había hecho ni caso pero que quería preguntar algo así que le di la palabra para que lanzara la pregunta ... - En primer lugar - contesté más o menos así - he de confesarte que ayer ni te escuché la pregunta, pero si te has molestado en trabajarla en casa y hacer raíces entonces ahora te escucho.
- - Es casualidad que, cuando hago la raíz por el algoritmo, las dos últimas cifras de la derecha en la última operación - las señalo en rojo en la imagen inferior- coincidan con las dos últimas cifras de la comprobación - las señalo en rojo en la imagen inferior- Además - añadió- he probado si lo hago con más decimales y también funciona.
La verdad es que Javier puede llegar lejos. Ve donde los demás ni sueñan ver. Así que, se mereció mi atención y mi respuesta. Nunca nadie me había preguntado tal cosa. Nunca yo me había a parado en tal observación. Pero solo hay que mirar y ver.
- NO, no es casualidad. Voy a intentar explicártelo, bueno, a intentar explicarlo para todos.
- Cuando te dan un número entero para calcular su raíz, si quieres sacar decimales, debes "bajar dos ceros".
- En la operación auxiliar de la derecha para intentar ajustar el resto anterior, las dos últimas cifras, esas que tú me indicabas, son las que coincidirán al restar precisamente con los dos ceros.
- Luego ...
Dos exámenes muy tristes
Dos exámenes muy tristes ...
"El problema es que la mayor parte de los profesores asumen que, hacer denominador común, multiplicar numeradores por numeradores, multiplicar en cruz, ... es entender algo"
¡Sigo pensando que, el fin, no justifica los medios!
Las matemáticas de la escuela
Era un día de examen de matemáticas para 2º de la ESO y ésta era una de las preguntas:
3. Discutíamos mi primo y yo sobre una tarea que nos habían puesto de matemáticas:
De pronto, cosa rara, nuestros padres nos hicieron reflexionar sobre este pequeño párrafo:
Así que:
La respuesta de una de mis nuevas alumnas ha sido totalmente demoledora:
A) Me pide que haga , y yo lo que haría sería multiplicar los denominadores y los numeradores como me hayan enseñado en el colegio. Yo creo que eso no saldría en la vida real.
Si algún profesor de matemáticas quisiese mirar, salir fuera de su cascarón y entender, no harían falta comentarios.
¿Para qué?, me volví a preguntar con una infinita tristeza, ¿para qué?
Nadie quiere entender lo que pregunto y está delante, en las narices de todos, frente a vosotros ... Y todos mirando hacia otro lado.
Que el mundo siga dando vueltas, que las matemáticas de la escuela sigan sin tener nada que ver con la realidad, que para "enseñar" matemáticas siga valiendo cualquiera...
3. Discutíamos mi primo y yo sobre una tarea que nos habían puesto de matemáticas:
- ¡Que si se multiplica en cruz, que si se hace denominador común, que si se …!
De pronto, cosa rara, nuestros padres nos hicieron reflexionar sobre este pequeño párrafo:
Cuando discuten dos matemáticos - y lo hacen, a menudo de un modo muy apasionado y agresivo -, de repente uno se detiene y dice: 'Lo siento, tienes toda la razón, ahora veo mi error'. Y se irán y comerán juntos, como grandes amigos"
Cartas a una joven matemática – Ian Steward -
Así que:
A) Reflexiona y explica qué me pide esa operación matemática y, cómo haríamos lo que pide, en la vida real.
B) Observa después que, con “la regla adecuada de la clase de matemáticas” el resultado es el mismo.
B) Observa después que, con “la regla adecuada de la clase de matemáticas” el resultado es el mismo.
La respuesta de una de mis nuevas alumnas ha sido totalmente demoledora:
A) Me pide que haga , y yo lo que haría sería multiplicar los denominadores y los numeradores como me hayan enseñado en el colegio. Yo creo que eso no saldría en la vida real.
Jesica Ji
¿Para qué?, me volví a preguntar con una infinita tristeza, ¿para qué?
Que el mundo siga dando vueltas, que las matemáticas de la escuela sigan sin tener nada que ver con la realidad, que para "enseñar" matemáticas siga valiendo cualquiera...
Sentido común versus factor común
En principio, el título de esta entrada iba a ser "Factor común versus Sentido común", pero, una vez más, antes de escribirla quise asegurarme del significado último de la palabra versus, comúnmente abreviada vs. Así que, no sólo el título cambió sino que mi entrada ha encontrado una doble finalidad. Comenzaremos por lo que en principio iba a ser y terminaremos por lo que el destino ha deparado como complemento:
Desde el Sentido común HACIA el Factor común:
Como he indicado en alguna otra ocasión, el sentido común no es muy usual en la enseñanza de las matemáticas y si lo fuera, nada sería tan abstracto y fuera de la cotidianeidad:
Sentido común VERSUS Factor común:
Resulta que la palabra Versus es de origen latino, suele abreviarse en vs y significa «hacia» o «frente a». Esta palabra ha sido introducida por el inglés en el sentido de «contra», pero es de uso impropio en español. Con un poco más de detalle puedes ver el mismo comentario en esta web sobre el origen de las palabras.
Así que, obviamente, mi manifiesta ignorancia me hizo pensar en el título original de esta entrada como "Factor común vs. Sentido común" en alusión clara a la confrontación, a la lucha que mantengo día a día contra el sistema que pugna por defender el Factor común mientras yo no hablo de él hasta muy adelante (tal vez 3º ó 4º de la ESO) mientras sostengo el frente del Sentido común.
Sólo después de hacer que "mi lengua no se adelantase a mi razón", consultado el verdadero sentido de Versus, he optado por la pedagogía del "Sentido común hacia el Factor común". Tal vez de una manera excesivamente romántica porque versus (hacia) conlleva una connotación de ir hacia el otro pero frente a frente y, en mi caso, no es del todo así. Quiero que ambas cosas se acerquen, convergan, se den la mano, pero partiendo de una para caminar hacia la otra.
"Desde mi sentido común voy hacia la abstracción del factor común" pero que sólo vaya el que quiera, porque las matemáticas de la escuela son matemáticas para la vida y, nos guste o no, la enseñanza hasta los 16 años es la enseñanza de la "escuela" y no la enseñanza del "instituto de segunda enseñanza" como los políticos nos han querido hacer ver para intentar engañarnos a todos:
Desde el Sentido común HACIA el Factor común:
2 perros + 3 perros - 4 perros = 1 perro = perro
A nadie se le escapa que, el sentido común guía la respuesta anterior y que, si en vez de perros hablamos de cualquier otra cosa, entidad, fantasía o abstracción, el resultado será el mismo:
- Cosa: 2 casas + 3 casa - 4 casas = 1 casa = casa
- Entidad: 2 almas + 3 almas - 4 almas = 1 alma = alma
- Fantasía: 2 hadas + 3 hadas - 4 hadas = 1 hada = hada
- Abstracción: 2 α + 3 α - 4 α = α
Queda claro en el ejemplo que, todo es igual pero la Abstracción resulta más abstracta; redundancia que viene a abundar en la propia esencia del concepto de abstracción como algo que supone un esfuerzo de extracción mental de la esencia. Ahora, por destacar un matiz sencillo pero trascendente, el plural está implícito y debe leerse : "dos alfas, ...".
Queda perfectamente claro que, aplicando simplemente el sentido común:
2·11 + 3·11 - 4·11 = 1·11 = ·11
Me encantó el viernes escuchar a un alumno de 2º de ESO jactarse ufano de que le había puesto a sus padres ejemplos de este tipo y que siempre lo hacían multiplicando primero y sumando y restando después. ¿Cómo van a ayudar esos padres a sus hijos a entender lo que yo les enseño? , me pregunté.
El sentido común me permite dar un ligero paso hacia la abstracción y poder entonces razonar así:
5 X + X - 3 X = (5 + 1 -3) X = 3 X
Habrá personas que aquí, ya empicen a patinar con la abstracción de terminología de las X y de los paréntesis e incluso que le cueste llegar a entender que:
5 X + X - 3 X NO ES IGUAL que (5 + 1 -3) = 3
porque, al principio tenía X y, después dejé de tenerlas para quedarme sólo con cifras.
Resulta que en las clases y los libros de matemáticas a esta aplicación del sentido común se le denota sacar factor común. Y con el factor común la mayor parte de nuestros alumnos no entienden:
- ¿Por qué se le llama así? (Nunca se les explica)
- ¿A qué responde? (Pocas veces se les hace reflexionar sobre ello)
- ¿Qué es un factor, qué es común y común a qué?
- ¿Por qué es habitual que, con una operación como la anterior, a un gran porcentaje de ellos se les ovide que el sumando central está y pongan burradas como esta:5 X + X -· 3 X = (5 - 3) X = 2 X
Pero lo más natural resulta explicar a todo el mundo lo que dice el sentido común para después ir hacia el factor común, pero sólo para aquellos a los que las abstracciones y/o las matemáticas les resulten llamativas como para perder su tiempo con ellas. A los demás, sinceramente, para aprenderse de memoría y sin sentido algo como el factor común, mejor que reciten poesías.
Sentido común VERSUS Factor común:
Resulta que la palabra Versus es de origen latino, suele abreviarse en vs y significa «hacia» o «frente a». Esta palabra ha sido introducida por el inglés en el sentido de «contra», pero es de uso impropio en español. Con un poco más de detalle puedes ver el mismo comentario en esta web sobre el origen de las palabras.
Así que, obviamente, mi manifiesta ignorancia me hizo pensar en el título original de esta entrada como "Factor común vs. Sentido común" en alusión clara a la confrontación, a la lucha que mantengo día a día contra el sistema que pugna por defender el Factor común mientras yo no hablo de él hasta muy adelante (tal vez 3º ó 4º de la ESO) mientras sostengo el frente del Sentido común.
Sólo después de hacer que "mi lengua no se adelantase a mi razón", consultado el verdadero sentido de Versus, he optado por la pedagogía del "Sentido común hacia el Factor común". Tal vez de una manera excesivamente romántica porque versus (hacia) conlleva una connotación de ir hacia el otro pero frente a frente y, en mi caso, no es del todo así. Quiero que ambas cosas se acerquen, convergan, se den la mano, pero partiendo de una para caminar hacia la otra.
"Desde mi sentido común voy hacia la abstracción del factor común" pero que sólo vaya el que quiera, porque las matemáticas de la escuela son matemáticas para la vida y, nos guste o no, la enseñanza hasta los 16 años es la enseñanza de la "escuela" y no la enseñanza del "instituto de segunda enseñanza" como los políticos nos han querido hacer ver para intentar engañarnos a todos:
- A los que fuimos profesores de instituto y hoy somos de secundaria para que no protestásemos por habernos encomendado una tarea para la que no fuimos preparados ni a la que opositamos.
- A los maestros para hacerles creer en una igualdad estúpida entre primaria y secundaria cuando no hay nada más desigual en su propia naturaleza educativa y no es cuestión de prestigio o conocimiento sino de cualidad.
- A los padres... de cualquier manera, porque nunca entendieron la diferencia, siguen sin entenderla y sólo importa el concepto de guardería que conlleva la enseñanza: "menos vacaciones para los maestros y más tiempo en la escuela para que guarden a nuestros hijos mientras nosotros trabajamos".
Un problema de potencias
¿Por qué un problema como el que aquí planteo no es un problema de 1º de la ESO y, se convierte en un problema difícil de 4º de la ESO?
Tengo la respuesta. Me la ha dado mi hijo que ya ha terminado la ESO cuando me ha dicho que, nunca le habían hecho reflexionar sobre el hecho de que:
Así que aquí os propongo, pequeños alumnos, el mismo problema que puedo proponer, y de hecho he propuesto durante muchos años a, alumnos de 3º de ESO, de 4º de ESO, de 1º de Bachillerato y, a muchos Bachilleres hechos y derechos, siempre con muchas más decepciones que alegrías:
La solución, si no das con ella, léela en: Un problema de potencias de derecha a izquierda
Tengo la respuesta. Me la ha dado mi hijo que ya ha terminado la ESO cuando me ha dicho que, nunca le habían hecho reflexionar sobre el hecho de que:
son 10 veces
Os he de confesar que, lo que de verdad dijo es que, a él, no le habían enseñado eso. ¡Ya sabes, cosas de alumnos! Así que aquí os propongo, pequeños alumnos, el mismo problema que puedo proponer, y de hecho he propuesto durante muchos años a, alumnos de 3º de ESO, de 4º de ESO, de 1º de Bachillerato y, a muchos Bachilleres hechos y derechos, siempre con muchas más decepciones que alegrías:
Una estrella se encuentra de la Tierra a: . Otra estrella, alineada con ellas se encuentra de la Tierra a una distancia de: . Haz un dibujo a escala de la posición de la Tierra y las dos estrellas representando cada una por un punto con los nombres ( T, E1, E2)
La solución, si no das con ella, léela en: Un problema de potencias de derecha a izquierda
Operaciones y más operaciones
Ninguna pregunta de estos exámenes de operaciones que adjunto aquí tendría sentido sin entender primero lo que se recoge en algunas entradas previas de este blog:
Quiero dedicarle esta entrada a uno de ellos (Ander) que, hace unos días me dijo algo parecido a esto después de salir de una clase en la que hablamos de potencias:
"Sabes Jorge, quiero decirte que creo que tenías razón" .
El año pasado sufrió conmigo durante todo el curso, éste volverá a sufrir, pero creo que había visto algo que antes no había conseguido ver.
"Me alegro por tí", le contesté, "porque te aseguro que, si lo entiendes, todo será más fácil aunque te haya costado tanto tiempo verlo".
Y así es, me alegro por él y por los demás que llegan a verlo y me entristezco por todos los que, lejos de escucharme, se siguen aprendiendo las reglas de toda la vida.
- Un limón y medio limón ...
- Pero a quién se le ocurre ...
- La regla de los signos
- ... Y unas cuantas más ...
Quiero dedicarle esta entrada a uno de ellos (Ander) que, hace unos días me dijo algo parecido a esto después de salir de una clase en la que hablamos de potencias:
"Sabes Jorge, quiero decirte que creo que tenías razón" .
El año pasado sufrió conmigo durante todo el curso, éste volverá a sufrir, pero creo que había visto algo que antes no había conseguido ver.
"Me alegro por tí", le contesté, "porque te aseguro que, si lo entiendes, todo será más fácil aunque te haya costado tanto tiempo verlo".
Y así es, me alegro por él y por los demás que llegan a verlo y me entristezco por todos los que, lejos de escucharme, se siguen aprendiendo las reglas de toda la vida.
Un limón y medio limón ...
Había un juego infantil, o tal vez no tan infantil que empezaba diciendo "Un limón y medio limón". No sé muy bien en qué consistía pero seguro que todos sabemos contestar a preguntas como estas:
Así que, de eso va nuetra lección de hoy: de cómo, los castillos más complejos de operaciones, si los viésemos como algo natural, tendrían una resolución natural. Ya habrá tiempo para aprender reglas sin sentido más tarde y, entonces, cuando las aprendamos, se convertirán en reglas naturales.
- ¿Cuántos limones son 'un limón y medio limón'?
- ¿Cuántos limones son '9 limones menos un limón'?
Así que, de eso va nuetra lección de hoy: de cómo, los castillos más complejos de operaciones, si los viésemos como algo natural, tendrían una resolución natural. Ya habrá tiempo para aprender reglas sin sentido más tarde y, entonces, cuando las aprendamos, se convertirán en reglas naturales.
- Todos los habitantes de mi pueblo saben , y por supuesto mi abuelo sabía, que un limón y medio limón da para mucho:
- Si estamos 3 personas nos lo prodríamos repartir sin problemas: "medio limón a cada uno", porque disponemos de 3 mitades de limón:
- Si estamos 6 personas nos lo podremos repartir sin problemas. ¡Esperad, no lo chupéis!, diríamos a los tres primeros, que cada uno de vosotros debe repartirlo con otra persona así que, disponemos de 6 cuartos de limón :
- Casi todo el mundo sabe también que si tenemos nueve limones y nos quitan un limón nos quedaremos con 8 limones.
Es posible incluso que esto no haga falta explicarlo.- La duda está entonces en saber por qué no es lo más evidente que: Sin necesidad de decir tonterías del tipo de restar términos semejantes
- Pero más maravilloso es observar que:
- Y qué me dices entonces si tenemos:
Pero a quién se le ocurre ...
Le cuento a mis alumnos que, como las matemáticas que han aprendido en la escuela no tienen nada que ver con la realidad, en las escuela las cuestiones más simples y evidentes de la calle se convierten en cosas ininteligibles, de imensa dificultad, esperpénticas.
Hoy, sin ir más lejos leía en la novela Silvia y Bruno (I) de Lewis Carroll ...
"Y entonces todos dieron vivas de nuevo, y un hombre, que estaba más excitado que los demás, lanzó su sombrero al aire y chilló (tal como yo podría transcribirlo) '¿Quién está afavor del Sub-Alcaide?' Todos gritaron, pero si a favor del Sub-Alcaide o no, es algo que no estaba claro: Unos gritaban: '¡Pan!', y otros '¡Impuestos!', pero ninguno parecía saber realmente lo que querían."
- ¿A quién se le ocurre afirmar en la calle que, si tienes una deuda de 20€ y, después adquieres otra deuda de 14€, en realidad tu deuda total es de 6€?
En la escuela, esto es posible: ¿ - 20 -14 = -6 ?
- ¿A quién se le ocurre afirmar en la calle que, si tienes una deuda de 25€ y tu tía te regala 30€, lo que ha hecho tu tía es perjudicarte porque ha convertido tu deuda en 55€?
Y, por supuesto, en la escuela, esto también es normal: ¿ - 25 + 35 = -55 ?
Las causas pueden ser diversas pero, os aseguro que, la manera de enseñar las operaciones combinadas de sumas y restas en la escuela es, cuando menos, triste. ¡Reglas sin sentido para que ningún alumno relacione una operación con su vida diaria!
Así que, cuando me encuentro con estas barbaridades (casi cada día) les digo que van a ser adultos estándar y que, cuando un político se suba a un estrado o salga por la tele y diga ...:
"Os aseguro que el Partido Contrario os ha prometido 5€ por persona pero, nosotros, el Partido Contrario del Contrario os ofrecemos más. Nosotros os daremos los 5€ por persona y, además, os daremos menos 6€ más a cada uno"
... Si el político es de "los míos" gritaré como un loco ... SIIIIIII, eso SIIIIII, y no lo que nos dan los miserables de los Contarios.
... Si el político es "de los otros" gritaré como un loco .... NOOO, eso no es posible porque se vaciará la caja del dinero y no tendréis suficiente sin subir más los impuestos.
Por si las moscas, nunca escuches ni pienses, no sea que lo que te hayan prometido se parezca a:
5 + (-6) = 5 -6 = -1
Hoy, sin ir más lejos leía en la novela Silvia y Bruno (I) de Lewis Carroll ...
"Y entonces todos dieron vivas de nuevo, y un hombre, que estaba más excitado que los demás, lanzó su sombrero al aire y chilló (tal como yo podría transcribirlo) '¿Quién está afavor del Sub-Alcaide?' Todos gritaron, pero si a favor del Sub-Alcaide o no, es algo que no estaba claro: Unos gritaban: '¡Pan!', y otros '¡Impuestos!', pero ninguno parecía saber realmente lo que querían."
Y después de leer esto he pensado ...
-¿Acaso soy yo también, como su personajes, un trasunto del propio Lewis?
- ¡Ya me gustaría!
Una colección de exámenes
A petición de alguno de mis alumnos pongo aquí los enunciados de los últimos exámenes. Dos de ellos, los dos últimos, no se los llevaron para casa así que, algunos querían tenerlos o que viesen los enunciados sus padres.
Se que hace mucho que deje el blog en "stand by" por circunstancias que no vienen al caso, aunque espero retomarlo en el próximo curso. Por ahora, aquí van los enunciados:
Se que hace mucho que deje el blog en "stand by" por circunstancias que no vienen al caso, aunque espero retomarlo en el próximo curso. Por ahora, aquí van los enunciados:
La Rebelión de los números
No sé si os dais cuenta de que las matemáticas forman parte de nuestra vida.
No, ¿verdad? No te has dado cuenta. De hecho, lo más probable que no sea así. ¡Seguro que no es así! ¡Tristemente no es así! Las matemáticas no forman parte de tu vida mas allá de la propia clase de matemáticas.
Antonio de la Fuente Arjona nos dice, a través del "PROFE DE MATES", en su obra de teatro "La rebelión de los números" que, al menos, los números siempre están ahí; no podemos vivir sin ellos y, sin embargo, no les hacemos caso, no les queremos, no los entendemos y un día se enfadarán y nos abandonarán.
Sólo se valora lo que se pierde ...
[...]
SILVIA: (Realmente arrepentida.) Perdóneme, Profe, pero es que en cuanto empieza la clase de matemáticas me da un sueño… (Y bosteza.) ¡Uy!, perdón.
OMAR: Es que las mates son un poco rollo.
SARA: Yo no puedo con ellas.
MARCOS: ¡Pues anda que yo!
PROFE DE MATES: ¿Pero no os dais cuenta que las matemáticas forman parte de nuestra existencia?
CHEMA: ¿De verdad?
[...]
Hay un Canción de Luis Eduardo Aute que nos dice ...
[...]
Cine, cine, cine,
más cine por favor,
que todo en la vida es cine
y los sueños,
cine son.
[...]
Y no, probablemente para tí no sea así. Tampoco tu vida y tus sueños sean cine.
Pero te aseguro una cosa ...
Con las matemáticas, como con el cine, como con la vida, puedes disfrutar, te puedes divertir, puedes soñar ... Pero esto será cuando entiendas que, hasta en el más oscuro e inhóspito rincón del conocimiento, hay belleza y es fantástico encontrarla porque, entonces, aquel rincón se llenará de luz.
No, ¿verdad? No te has dado cuenta. De hecho, lo más probable que no sea así. ¡Seguro que no es así! ¡Tristemente no es así! Las matemáticas no forman parte de tu vida mas allá de la propia clase de matemáticas.
Antonio de la Fuente Arjona nos dice, a través del "PROFE DE MATES", en su obra de teatro "La rebelión de los números" que, al menos, los números siempre están ahí; no podemos vivir sin ellos y, sin embargo, no les hacemos caso, no les queremos, no los entendemos y un día se enfadarán y nos abandonarán.
Sólo se valora lo que se pierde ...
[...]
SILVIA: (Realmente arrepentida.) Perdóneme, Profe, pero es que en cuanto empieza la clase de matemáticas me da un sueño… (Y bosteza.) ¡Uy!, perdón.
OMAR: Es que las mates son un poco rollo.
SARA: Yo no puedo con ellas.
MARCOS: ¡Pues anda que yo!
PROFE DE MATES: ¿Pero no os dais cuenta que las matemáticas forman parte de nuestra existencia?
CHEMA: ¿De verdad?
[...]
Hay un Canción de Luis Eduardo Aute que nos dice ...
[...]
Cine, cine, cine,
más cine por favor,
que todo en la vida es cine
y los sueños,
cine son.
[...]
Y no, probablemente para tí no sea así. Tampoco tu vida y tus sueños sean cine.
Pero te aseguro una cosa ...
Con las matemáticas, como con el cine, como con la vida, puedes disfrutar, te puedes divertir, puedes soñar ... Pero esto será cuando entiendas que, hasta en el más oscuro e inhóspito rincón del conocimiento, hay belleza y es fantástico encontrarla porque, entonces, aquel rincón se llenará de luz.
La belleza de un problema. La simplicidad del entendimiento
Cómo cambia un problema cuando pasa de ser un problema de clase de Matemáticas a ser un reto real, algo que no tiene que ver con las "Mates de la Escuela", algo que tiene que ver con las "Mates de la vida".
Un problema de punto rojo de nuestro libro, algo casi imposible de hacer y, sin embargo, tal fácil y con tantas matemáticas dentro:
Tengo un montón de baldosines cuadrados y, con ellos, quiero formar un cuadrado lo más grande posible. Me pongo a la tarea y, me doy cuenta que, si lo intento, me sobran 23 baldosines, pero también observo que, para conseguir un cuadrado de un baldosín más por lado, me faltan 46.
¿Cuántos baldosines tengo en mi montón?
Un problema de punto rojo de nuestro libro, algo casi imposible de hacer y, sin embargo, tal fácil y con tantas matemáticas dentro:
¿Cuántos baldosines tengo en mi montón?
- Empecemos por entender el problema, tan fácil y tan imposible a la vez. No hay mejor manera que ponerse manos a la obra y colocar baldosines.
¡NOOOOOOOOO, Así NOOO!
Ponte a colocar baldosines para resolver el problema.
Si no sabes lo que digo, ólvidate de seguir adelante - Empecemos en serio.
Con un cuadradito.
¿Tengo más para seguir? ... ¿Cuántos necesito para completar otro cuadradito? ... Tal vez 3.
¿Tengo más para seguir? ... ¿Cuántos necesito para completar otro cuadradito? ... Tal vez 5.
¿Tengo más para seguir? ... ¿Cuántos necesito para completar otro cuadradito? ... Tal vez 7.
- Tal vez ahora entiendas lo que significa que te sobren o te falten cuadraditos. ¿Cuántos necesitas para completar el siguiente cuadrado?
- ¡No sigas! ¡Párate y piensa!
¿Qué has hecho en cada paso?
¿Cuantos cuadrados has necesitado cada vez?
Imagina que has completado un cuadrado de 4 cuadraditos de lado. ¿Cuantos necesitarás para hacer el siguiente de 5 cuadraditos de lado?
Si crees que lo tienes claro ...
Si hubieras completado un cuadrado de 15 cuadraditos de lado ... ¿Cuántos necesitarías para completar un cuadrado de 16 cuadraditos de lado? - No sé hasta dónde he llegado, lo que sé es que me sobran 23 baldosines y necesito 46 más para completar el siguiente cuadrado
- No debería decirte más ... El problema debería estar resuelto.
Si no es así, no sigas adelante, comienza desde el principio - Ahora fíjate en lo siguiente:
- Si tengo un cuadradito y me dan 3 ... la cosa cuadra
1 + 3 = 22 = 4. - Si tengo dos cuadraditos de lado y me dan 5 cuadraditos... la cosa cuadra
(1 + 3) + 5 = 22 + 5 = 4 + 5 = 32. - Si tengo tres cuadraditos de lado y me dan 7 ... la cosa cuadra
(1 + 3 + 5) + 7= 32 + 7 = 9 + 7 = 42. - ...
- Si tengo 10 cuadraditos de lado y me dan 21 ... la cosa cuadra
(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 )+ 21= 102 + 21 = 112. - ...
- Si tengo un cuadradito y me dan 3 ... la cosa cuadra
- Yo concluyo algo realmente interesante de todo esto:
- La suma de muchos números impares seguidos, empezando desde el 1 , es un cuadrado perfecto
- La suma de 10 números impares seguidos desde el 1 me da un cuadrado de 10 cuadraditos de lado: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 102 = 100
- La suma de 30 números impares seguidos desde el 1 me da un cuadrado de 30 cuadraditos de lado:
1 + 3 + 5 + ... + 59 = 302 = 900 - ¿Y la suma de 50 números impares consecutivos ?
- Este cuento podría seguir con más historias y, seguro que no podríamos dejar de hablar de Gauss ... pero eso será otro día.
Aprende ecuaciones divirtiéndote
Nada más fantástico que aprender divirtiéndose.
He encontrado esto en Internet: http://webs.ono.com/argopuebla/ArgoEcuaciones.html , para que juegues y aprendas ecuaciones como Hypatia.
He encontrado esto en Internet: http://webs.ono.com/argopuebla/ArgoEcuaciones.html , para que juegues y aprendas ecuaciones como Hypatia.
ArgoEcuaciones 1.0
Si no funciona, comprueba que tienes la versión java 1.5(o superior)  |
Lenguaje Algebraico: Las ecuaciones
[...] Ella tendría unos siete u ocho años. El padre (Teón) , había comenzado a enseñarle matemáticas y le había dado un volumen de la Aritmética de Diofanto. Le había explicado que, en matemáticas, cuanto más se profundizaba, con mayor facilidad y elegancia se resolvían los problemas. << No tienes por qué aprender a resolverlos como si fueses un mercachifle - le había dicho -, pues puedes hacerlo cómodamente con las ecuaciones diofánticas.>> La niña se había encerrado en su cuarto y había meditado largamente sobre sobre las palabras y las explicaciones del padre. Y de repente vio con toda claridad lo que el padre quería decirle. Se fue corriendo a su despacho y no lo encontró. Luego cogió una balanza del cuarto del padre y salió corriendo a buscarlo por toda la casa. Le dijeron que Teón estaba fuera. Al salir de la casa lo vio dando instrucciones a unos hombres que estaban descargando una enorme pizarra de una carreta. Siempre asociaría al padre con aquellos grandes tableros repletos de cálculos hechos con tiza. Interrumpió al padre, puso la balanza en el suelo, colocó pesas en ambos platillos, procurando que tuviesen igual peso y dijo, presa de excitación:
- Te he entendido, padre, tienes razón, es muy sencillo. No tengo más que hacer todas las operaciones que se me antojen en los dos platillos. Puedo sumar, restar, multiplicar y dividir; de lo único que tengo que preocuparme es de que ambos pesen lo mismo. He de jugar hasta que en uno de los platillos se quede la pesa correspondiente al valor que desconocemos. Y el otro me dará la cantidad.
El padre la había alzado en brazos, se la había comido a besos y luego aquel hombre de serenos ademanes e incapaz de alzar la voz se había puesto a gritar como un loco, llamando a los vecinos:
- ¡Salid, asomaos! Acudid, que aquí tenéis a quien se convertirá en la mayor matemática de Alejandría!
Y a partir de aquel momento no recordaba ni un solo día de su infancia en que el padre no hubiese pasado con ella algunas horas enseñándole matemáticas, física y astronomía. Si había llegado a donde había llegado, todo se lo debía a él [...]
Hypatia. La mujer que amó la ciencia - Pedro Gálvez. -
Lenguaje Algebraico y ... Magia
¡SE LO QUE ESTÁS PENSANDO!
No es un farol de jugador de cartas
Es la pura realidad
Mis alumnos nunca me lo creen cuando se lo digo pero puedo adivinarles el pensamiento.
- Se cuando sus pensamientos se van fuera de la clase y no me atienden.
- Se lo que me quieren decir antes incluso de que abran la boca.
- Se que no me han entendido y no se atreven a preguntar.
- ...
- Y, siempre que les mando pensar un número, ¡PUEDO ADIVINARLO INCLUSO SIN VERLES!
A tí también puedo adivinarte lo que estás pensando y, si no lo crees, lee despacio y lo verás:
- - Piensa un número cualquiera y, si es un número raro, ten a mano la calculadora para hacer operaciones
- - Suma 2 al número que has pensado.
- - Multiplica lo que te ha dado por 7
- - Suma a lo que te ha dado el triple del número que pensaste al principio
- - Si el número que te ha dado es impar, súmale 5, y si es par, súmale 6
- - Divide lo que te ha dado por 10
- - Por último, resta 2
... Te lo dije, sé lo que estabas pensando, precisamente el número que te ha dado como resultado de tus operaciones. No otro cualquiera, precisamente ESE, EL QUE ESTABAS PENSANDO.
Y todo ello lo puedo hacer gracias a la magia de las matemáticas, gracias a la mágia del cálculo algebraico, gracias a que las matemáticas son para mí algo divertido y apasionante.
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