Matemáticas de 1º y 2º de ESO: * Tema1

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¿Pero 4 es igual que 2? ... Imposible

Siempre estamos a tiempo para hacer magia, engañar a incautos o probar si realmente sabemos hacer "cuentas" lo suficientemente bien como para que no nos den "cero por 1".
En el Calendario Matemático de SM del curso 2008-2009 , mes de Mayo de 2009 , mes elaborado por el Departamento de Matemáticas del IES Leonardo Da Vinci de Albacete, aparece la siguiente falacia.

¿Dónde está la falacia?

Por cierto, esto me hace recordar que, en el Calendario Matemático de SM de este curso 2010-2011 , el mes de Marzo de 2011, ha sido elaborado por mi compañero y profesor de nuestro centro Javier Gallarreta Espinosa (Sirva esta entrada también como reconocimiento a tarea y, fundamentalmente, como premio a su gusto por las matemáticas).

Exámenes, exámenes, exámenes, ... ¿para qué?

Aquí os cuelgo los exámenes que hemos hecho del Tema 1 para que los hagas tranquilamente en tu casa, con calma y con tiempo y te demuestres a ti mismo lo que realmente entiendes y has aprendido:

Múltiplos y Divisores. Ampliación

En tu libro, en la página 25 tienes ejercicios de ampliación. Te voy a proponer aquí uno de los ejercicios de ampliación que allí se encuentran y otros dos más ... para que te estrujes el cereblo si te gustan "las mates":

(Ej. 81 pág 25 del libro) Para cualquier par de números naturales, a y b se cumple que:

a x b = mcd(a,b) x mcm(a,b)
Justifica que, cualquier cuadrado perfecto¹ ( son cuadrados perfectos los números: 4, 9, 16, 25, 36, ...) tienen un número impar de divisores.
Justifica que, cualquier número natural que no sea un cuadrado perfecto¹ tiene un número par de divisores

1 .- Decimos que un número es un cuadrado perfecto si es el cuadrado de algún número natural: 16 = 4 x 4 , luego 16 es cuadrado perfecto. 15 no es cuadrado perfecto

mcd y mcm

Cuando en Matemáticas usamos las siglas mcd y mcm nos estamos refiriendo a:

mcm: mínimo común múltiplo de varios números
mcd: máximo común divisor de varios números

Olvídate de que estamos en matemáticas y piensa sólo en el significado de las palabras:

Olvídate de que estamos en matemáticas y piensa sólo en el significado de las palabras para contestar a:

¿Qué debes entender con la expresión "máximo común divisor"?
Pon un ejemplo que ilustre la explicación que has dado.
¿Es 2 el máximo comun divisor de 12 y 18? ¿Por qué?
¿Qué debes entender con la expresión "mínimo común múltiplo"?
Pon un ejemplo que ilustre la explicación que has dado.
¿Es 24 el mínimo común múltiplo de 4 y 6? ¿Por qué?

Explica en términos de reparto o de empaquetamiento el significado del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo

Olvídate de que estamos en matemáticas y piensa sólo en el significado de las palabras para contestar a:

Si el "máximo común divisor" de dos número es 1, ¿cuántos divisores comunes a esos números puedes encontrar?¿Por qué?
Si el "máximo común divisor" de dos número es 4, ¿cuántos divisores comunes a esos números puedes encontrar?¿Por qué?
Tenemos dos números de los que sabemos que 2 y 3 son divisores comunes a ambos. ¿Puede ser 3 el máximo común divisor?
Si el mínimo común múltiplo de dos números es 100, ¿Puedes se 90 un divisor común de esos dos números?¿Por qué?
Si el mínimo común múltiplo de dos números es 100, ¿tendrán esos dos números más múltiplos en común?¿Por qué?

La división como reparto o como empaquetamiento

La operación de la división es algo cotidiano en la vida real. La operación existe porque responde a una necesidad de todos los días.
Cada vez que veas una división puedes ver en ella uno de los siguientes aspectos:

Como un reparto: Tengo 357 caramelos para repartir entre 13 personas
- Cada uno se lleva 27 caramelos.
- Me sobran 6 caramelos.
Como un empaquetado: Tengo 357 caramelos y tengo que hacer paquetes de 13 caramelos:
- Podré hacer 27 paquetes.
- Me sobran 6 caramelos.

De este modo hay ejercicios que se convierten en simples juegos de lo más sencillo:

Sin hacer la división. Cuál será el cociente y el resto de las siguientes divisiones y por qué

358 : 13
360 : 13
364 : 13
352 : 13

Sabemos que un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Así que "279 es divisible entre 9"

Explica en términos de reparto, qué significa que "279 es divisible entre 9"
Sin hacer la división: ¿Cuál es el resto de dividir 280 entre 9? ¿Por qué?
Sin hacer la división: ¿Cuál es el resto de dividir 285 entre 9? ¿Por qué?
Sin hacer la división: ¿Cuál es el resto de dividir 274 entre 9? ¿Por qué?

Sabemos que un número es divisible entre 4 si el número que forman sus últimas cifras es múltiplo de 4. Así que

Sin hacer la división: ¿Es 279 divisible entre 4?
Indica el número más cercano a 279 que puedas que sea divisible entre 4 ¿Por qué?
Sin hacer la división: ¿Cuál es el resto de dividir 279 entre 4? ¿Por qué?

Prioridad de operaciones

Algunas de las diferencias más importantes entre una calculadora científica y otra que no lo es son:

Las calculadoras científicas respetan la prioridad de operaciones

Ejercicio:

Realiza en una calculadora científica y en otra que no lo sea la operación:

1 + 3 x 3 =
Observa que el resultado es diferente. Sólo la calculadora científica respeta la prioridad de operaciones y hace primero la multiplicación obteniendo el resultado correcto: 10 .

Las calculadoras científicas, al operar, trabajan con varias cifras que no se ven en pantalla que se usan para redondear.

Ejercicio:

Realiza en una calculadora científica y en otra que no lo sea la operación:

1 : 3 x 3 =
Observa que el resultado es diferente.

Matemagia numérica

Las matemáticas son una fuente inagotable para trucos de mágia. En este caso te presentamos trucos basados en las propiedades de los números y, en particular, del número 9:

TRUCO del 9: http://sferrerobravo.wordpress.com/2008/06/25/la-prueba-del-9/
Curiosidades sobre el 9: http://www.oviedocorreo.es/personales/comecoco/soluciones/sadivina9.htm
Magia con el 9: http://divulgamat.ehu.es/weborriak/recursosinternet/Juegos/Magia9.asp

Ejercicio:

Conviértete en mago. Aprende un juego de mágia del 9 de los enlaces anteriores y hazlo en tu casa a tus padres y/o tus hermanos.

Humor

Una de las muchas cosas fantásticas que puedes descubrir en divulgaMAT (Página de divulgación de la Real Sociedad Matemática española) es un conjunto de viñetas de Humor Gráfico que han aparecido en algunos medios de comunicación:

Prueba de Primavera

Ejercicios del Concurso de Primavera: Números romanos, Cálculo, Divisibilidad, ...

2001, 2014, 2015, 2016, 2105, 2107, 2015, 2201

2316, 2317

2007, 2104, 2018, 2122, 2124

El resto con Calculadora

La calculadora es una herramienta fabulosa y muy útil pero hay que saber utilizarla adecuadamente. Así que, aquí va un ejercicio para que lo hagas con calculadora.
Recuerda que Google también sirve para calcular. ( En el siguiente enlace tienes alguna ayuda para utilizar la calculadora de Google: ¡Ayuda! )

Ejercicio:

Obtén con la calculadora el resto de las siguientes divisiones:

23456 : 235
18964 : 123
4002 : 23
143782 : 19

Prueba del 9

La prueba del 9 es una antigua práctica que realizaban los alumnos para "comprobar" las operaciones como las multiplicaciones y, sobretodo, las divisiones, antes de existir las calculadoras.
Su razonamiento tiene que ver con los criterios de divisibilidad por 9.
En clase explicaremos su funcionamiento con más detalle. Aquí tienes algunos enlaces interesantes sobre la prueba del 9:

http://members.fortunecity.com/rillmar/matematicas/algodeMate.html
http://eliatron.blogspot.com/2009/05/la-prueba-del-9.html

Ejercicios

En la entrada anterior del blog te pedíamos calcular la letra del NIF Calcula la letra del NIF de todos los miembros de tu familia que lo tengan. Como tuviste que hacer divisiones, comprueba mediante la prueba del 9 las divisiones que has realizado.

Realiza las siguientes divisiones y compruébalas mediante la prueba del 9:
1234567 : 234 y 8765234: 475

Si la prueba del 9 está nos da bien cuando comprobamos una operación, ¿podemos estar seguros de que la operación está bien?¿Por qué?

Letra del NIF

El NIF (Número de Identificación Fiscal) está formado por un número de un máximo de 9 cifras (lo que realmente es el número de DNI) seguido de una letra.
El objetivo de la letra es hacer de "letra de control" y evitar errores.
Para el cálculo de la letra del NIF hay que hacer una división entre 23 y buscar el resto en la siguiente tabla:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
T	R	W	A	G	M	Y	F	P	D	X	B	N	J	Z	S	Q	V	H	L	C	K	E

Por ejemplo: para calcular la letra que le corresponde al número 16.111.111 haremos losiguiente:

1611111111 = 23 x 700483 + 2
Como el resto es 2 , buscamos la letra en la tabla y le corresponde la W

Ejercicios:

Calcula la letra del NIF de todos los miembros de tu familia que lo tengan y comprueba que obtienes el resultado correcto.

En la tabla anterior están sólo los números dese el 0 hasta el 22. ¿Por qué está exactamente estos números y no otros?

¡Atención!: Operaciones

Cuando vamos a hacer operaciones combinadas siempre es interesante mirar y analizar antes de ponernos a hacer cuentas a lo loco.
Aquí tienes varios casos en que es mucho mejor aplicar la propiedad distributiva en vez de no aplicarla aunque parezca lo contrario:

Ejercicio:

Piensa antes de operar y decide si es mejor aplicar la propiedad distributiva o no para hacer las operaciones de manera eficiente. Efectúa todos los pasos detalladamente:

9 x (7 + 13) - 7 x 9 =
9 x (7 + 13) + 7 + 9 =
5 x (7 + 3) - 2 x 7 =
3 x (14 + 3) + 3 x 3 =
999 x (11 + 12) + 11 + 12=
3 x (9 + 11) + 5 x 20 =
45 x ( 13 + 21) + 4 x (13 + 21) + 13 + 21 =

Operaciones. Propiedades

Hoja de ejercicios: Operaciones y propiedades (PDF)

En el enlace tienes una hoja de ejercicios para que practiques la importancia de las propiedades de las operaciones (en este caso las de la suma y la resta).
Tarea para la Semana de San Mateo (del 18/09/2010 al 26/09/2010).