Matemáticas de 1º y 2º de ESO

Las Potencias ...

Cualquier persona sensata que repite hasta la saciedad las mismas cosas busca una manera abreviada de expresarse. Es agotador escribir:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5
Si lo tienes que hacer una vez ... pase. Pero si lo tienes que hacer a cada momento ... juguemos a abreviar y escribamos de una forma más corta y lo suficientemente clara para entenderla:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 ( haremos que se escriba) 9 · 3 ( y lo leeremos como nueve treses ó nueve por 3)
De este modo:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 9 · 3 + 9 · 5

Apliquemos el mismo juego para descubrir las potencias:
Es agotador escribir:
3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3
Así que vamos a escribirlo de una manera más corta:
3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 ( haremos que se escriba) 3⁹ ( y lo leeremos como nueve treses multiplicándose ó 3 elevado a nueve)

Ni se te ocurra aprenderte ninguna estupidez más sobre las potencias
No hagas caso a nadie, confía en mí. Olvídate de las reglas que memorizaron tus padres y las que te enseñarán los demás.
Como te he dicho en clase, sólo dos cosas debes saber de momento:

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto repetido

3⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 ; 7⁴ = 7 · 7 · 7 · 7
El exponente de una potencia afecta sólo a lo que tiene inmediatamente debajo

-7⁴ = - 7⁴ = - (7 · 7 · 7 · 7 )
(- 7)⁴ = (- 7) · (- 7) · (- 7) · (- 7)

Ahora haz que ambas cosas no se te olviden y, cada vez que veas una potencia, recuerda ambas cosas y sólo esas.
Te parecerá sencillo pero no lo es.
No lo es porque no me vas a hacer caso.
No lo es porque se te va a olvidar hacerme caso.
NO LO ES PORQUE TE VAS A EQUIVOCAR MILES DE VECES Y ENTONCES VERÁS QUE NO ME HAS HECHO CASO.

Aquí te dejo nuestro último examen de potencias para que compruebes una vez más que no me has hecho caso:

Decimales y Fracciones

Una cosa es el número y otra muy distinta la manera de representarlo.

"Mi abuelo sabía de lo que hablaba cuando afirmaba que tres cuartos más tres cuartos siempre fueron 3 mitades"
¿Qué importa si lo represento:

Así :
O así: 0'75 + 0'75?

"Todo ladrón que haya pertenecido a la banda del trío sabe que un tercio más la mitad de un tercio es un medio"
¿Qué importa si lo represento:

Así :
O así:

Ninguno de ellos tuvo Sobresaliente en Matemáticas, ni tan siquiera Notable, pero sabían de lo que hablaban...

¡Corre y dile a tus padres que lean esto! Porque de esto se trata el aprender, de entender lo que mi abuelo y todo ladrón del trío entendían y no de resolver las cuentas sin entender lo que haces y sin entender si están bien o mal.
No me hables de que se multiplica en cruz o se hace el denominador común, háblame de que tiene sentido lo que haces porque haciéndolo así ..., el resultado es verdad, el resultado es correcto ... el resultado tiene sentido

Sólo si cuando ves un número, éste significa algo para tí, sólo entonces estarás aprendiendo.

Este fue nuestro examen sobre estas cuestiones:

Examen Temas 1 , 2 , 3 y 4 de 1º ESO (Diciembre-2010)

¿Cuándo me olvidé de ti? ... Mucho antes de lo de los ciruelos chinos

No sé cuando dejé de escribirte; tal vez antes de que me leyeras o, tal vez, mantengo aún la esperanza, dejaste de hacerlo más tarde.

Pero te hablé y te hablé. No es excusa, aunque prioricé otras cosas y hoy estoy arrepentido. Mi debilidad es mayor que mi deseo.

Me marché leyendo para tí " ¿Y los ciruelos chinos?"

El día de Navidad me hizo renovar la esperanza: hay muchas más plantas rojas moradas y azules ...

Tal vez, el año que viene, cuando volvamos a encontrarnos alguien sea capaz de sacarme del marasmo y devolverme a la vida y deje de plantearme nuevamente lo mal profesor que soy por provocar tan solo "dudas insípidas".
Tal vez, en la próxima evaluación, algún padre más comprenda que lo importante no es "sacar la asignatura sino aprender de ella".

Sigo soñando porque he visto más, he leído más y oí hablar incluso de coles lombardas, moradas, ligeramente dulces .

Exámenes Temas 1, 2 y 3

Aquí os cuelgo los exámenes que hemos hecho esta semana pasada para que los hagas tranquilamente en tu casa, con calma y con tiempo y te demuestres a ti mismo lo que realmente entiendes y has aprendido.

Entraban cosas del Tema1 (números naturales y divisibilidad), Tema2 (números enteros), Tema3 (Fracciones)

Nuestro segundo examen

Tal y como hicimos con los primeros exámenes, aquí os coloco los enunciados del 2º examen en el que entraban los temas 1 y 2:

Operaciones. Tema 2

Hoja de ejercicios: Operaciones y propiedades II (PDF)

En el enlace tienes una hoja de ejercicios para que practiques, fundamentalmente aspectos que hemos visto en el Tema 2.

La regla de los signos

No me extraña que mis alumnos me pregunten por la regla de los signos, pero me resisto a contarla.

"Las reglas" que aplicamos sistemáticamente en las matemáticas escolares son, casi siempre, deducciones sencillas de razonamientos poco complejos; han sido el resultado del estudio de situaciones; han llegado haciendo matemáticas.

Dice Ian Steward en su libro Cartas a una joven matemática :

"Las escuelas [...] están tan preocupadas por enseña a sumar que apenas preparan a los alumnos para responder (o incluso plantear) la pregunta mucho más difícil e interesante: ¿qué son las matemáticas?

[...] Cuando discuten dos matemáticos - y lo hacen, a menudo de un modo muy apasionado y agresivo -, de repente uno se detiene y dice: 'Lo siento, tienes toda la razón, ahora veo mi error'. Y se irán y comerán juntos, como grandes amigos"

4 x 3 :
- Es una forma abreviada de escribir: 3 + 3 + 3 + 3
- Es una forma precisa de representar la suma de cuatro treses
- Es una forma evidente de indicar +12
4 x (-3) :
- Es una forma abreviada de escribir: (-3)+(-3)+(-3)+(-3)
- Es una forma precisa de representar la suma de cuatro deudas de 3€ cada una
- Es una forma evidente de indicar que tengo una deuda de 12€
- Es claro que lo representamos con -12
(-4) x (3)
- Es una forma abreviada de escribir: (-4)+(-4)+(-4)
- Es una forma precisa de representar la suma de tres deudas de 4€ cada una
- Es una forma evidente de indicar que tengo una deuda de 12€
- Es claro que lo representamos con -12
(-4) x (-3) :
- Es una forma abreviada de escribir: me quitas 4 deudas de 3€ cada una
- También es una forma abreviada de escribir: me quitas 3 deudas de 4€ cada una
- Representa pues el hecho de que me quitas una deuda total de 12
- Si tengo una deuda de 12€ y me la quitas, me la perdonas, me estas regalando 12€
- Es claro que lo representamos es +12

¿Cuando entiendo lo que acabo de exponer es muy fácil concluir, si la necesito, la regla de los signos; es muy fácil reconstruir, si la he olvidado, la regla de los signos; es muy fácil entender, por qué es así, la regla de los signos:

(+) x (+) = (+)
(+) x (-) = (-) : Un conjunto de deudas será siempre una deuda
(-) x (+) = (-) : Un conjunto de deudas será siempre una deuda
(-) x (-) = (+) : Si me quitas un conjunto de deudas, me estas dando

Cuando sólo te aprendes "la regla de los signos" sin que sea el resultado de tu reflexión, ... ¿Quién te salvará de hacer cosas que no entiendes? ¿Quién te impedirá agarrarte a tu memoria y discutir y discutir sin entender y por tanto sin poder decir ... "lo siento, tienes toda razón, ahora veo mi error"

¿Pero 4 es igual que 2? ... Imposible

Siempre estamos a tiempo para hacer magia, engañar a incautos o probar si realmente sabemos hacer "cuentas" lo suficientemente bien como para que no nos den "cero por 1".
En el Calendario Matemático de SM del curso 2008-2009 , mes de Mayo de 2009 , mes elaborado por el Departamento de Matemáticas del IES Leonardo Da Vinci de Albacete, aparece la siguiente falacia.

¿Dónde está la falacia?

Por cierto, esto me hace recordar que, en el Calendario Matemático de SM de este curso 2010-2011 , el mes de Marzo de 2011, ha sido elaborado por mi compañero y profesor de nuestro centro Javier Gallarreta Espinosa (Sirva esta entrada también como reconocimiento a tarea y, fundamentalmente, como premio a su gusto por las matemáticas).

Exámenes, exámenes, exámenes, ... ¿para qué?

Aquí os cuelgo los exámenes que hemos hecho del Tema 1 para que los hagas tranquilamente en tu casa, con calma y con tiempo y te demuestres a ti mismo lo que realmente entiendes y has aprendido:

Matemáticas y Narrativa

Desde hace unos años, la Real Sociedad Matemática Española y Anaya , convocan un concurso de relatos cortos.
Si te gusta escribir, anímate, pregunta a tu profesor de Matemáticas.

Bases del concurso Narraciones Escolares RSME-ANAYA 2010

Por si te sirve de ayuda, para que veas que no se trata de escribir textos de matemáticas sino literatura que haga guiños a las matemáticas, Anaya publicó el libro Ensoñaciones desde mi pupitre con los 18 cuentos seleccionados de la edición de 2008.

¿Por qué he llamado idiotas a mis alumnos?

No lo he podido evitar...
Hace no muchos años que aprendí lo que significaba la palabra idiota. Un profesor de Lengua del IES Valle del Oja de Santo Domingo de la Calzada comentaba en la sala de profesores que, a veces, llamaba idiotas a sus alumnos. Pero idiotas, no como insulto, sino como un calificativo.

Idiota: Corto de entendimiento. Que carece de toda instrucción.

Pero hoy intentaba explicar a mis alumnos lo que es un maestro ó profesor; quizá debería decir, lo que tendría que ser. Esta frase de una joven maestra con ansias de saber y aprender más para poder enseñar mejor, lo explica con mucha claridad:

"A veces ardo en deseos de poder estudiar mejor, de una manera diferente; de tener por guía, además de los libros, a un profesor y poder compartir las dificultades con los otros alumnos que las sufren, [...]"

La incógnita de Newton - Catherine Shaw

¿Qué ha pasado hoy en 1º C?
- He preguntado quién "no sabía hacer un ejercicio" que habíamos mandado como tarea el día anterior.
- Ni una sola mano se ha levantado de lo que, les he dicho:

" Deduzco que todos sabéis hacerlo. Por tanto voy a preguntar a cualquiera de vosotros y, si no lo sabe hacer, le pondré un 0. No por no saberlo, he añadido, sino por mentiroso e idiota"

- Pero siendo profesor necesitaba demostrarlo así que les he intentado enseñar algo:

"Voy a repetir la pregunta, he dicho, para que me digáis quién no sabe hacer el ejercicio, porque la tarea de un profesor no es poner ceros al que no sabe sino explicar al que no entiende y, la tarea de un alumnoes intentar entender y aprender y utilizar al profesor para ello."

- Todos los alumnos de la clase excepto 3 han levantado la mano. Muchos no entendían el ejercicio, la mayoría, otros no sabían si lo entendía porque no lo habían intentado. Pero el ejercicio no era sencillo, tal vez hacía falta un profesor para explicárselo a mucha gente. Pero ...

Múltiplos y Divisores. Ampliación

En tu libro, en la página 25 tienes ejercicios de ampliación. Te voy a proponer aquí uno de los ejercicios de ampliación que allí se encuentran y otros dos más ... para que te estrujes el cereblo si te gustan "las mates":

(Ej. 81 pág 25 del libro) Para cualquier par de números naturales, a y b se cumple que:

a x b = mcd(a,b) x mcm(a,b)
Justifica que, cualquier cuadrado perfecto¹ ( son cuadrados perfectos los números: 4, 9, 16, 25, 36, ...) tienen un número impar de divisores.
Justifica que, cualquier número natural que no sea un cuadrado perfecto¹ tiene un número par de divisores

1 .- Decimos que un número es un cuadrado perfecto si es el cuadrado de algún número natural: 16 = 4 x 4 , luego 16 es cuadrado perfecto. 15 no es cuadrado perfecto